Question

【题目】如图1，有一个“z”字图形，其中AB∥CD，AB：CD：BC＝1：2：3．

（1）如图2，若以BC为直径的⊙O恰好经过点D，连结AO．

①求cosC．

②当AB＝2时，求AO的长．

（2）如图3，当A，B，C，D四点恰好在同一个圆上时．求∠C的度数．

Answer 1

【答案】（1）①cosC=；②当AB＝2时，AO=；（2）∠C＝60°．

【解析】

（1）①连接BD，根据圆周角定理得到∠CDB＝90°，根据余弦的定义计算；

②作OE⊥CD于E，证明△AOB≌△EOC，根据全等三角形的性质得到∠A＝∠CEO＝90°，根据勾股定理计算即可；

（2）证明△AFB为等边三角形，根据等边三角形的性质、圆周角定理计算．

解：（1）①如图2，连接BD，

∵BC为⊙O的直径，

∴∠CDB＝90°，

在Rt△BCD中，cosC＝＝；

②如图2，作OE⊥CD于E，

则CE＝DE，

∵AB＝2，AB：CD：BC＝1：2：3，

∴CD＝4，BC＝6，

∴AB＝CE＝2，

∵AB∥CD，

∴∠C＝∠ABO，

在△AOB和△EOC中，

，

∴△AOB≌△EOC（SAS），

∴∠A＝∠CEO＝90°，

∴OA＝ ＝；

（2）如图3，连接AD交BC于F，

∵AB∥CD，

∴△AFB∽△DFC，

∴，

∴，

∵，

∴BF＝AB，

∴∠BFA＝∠A，

∵AB∥CD，

∴∠B＝∠C，

由圆周角定理得，∠A＝∠C，

∴∠A＝∠B＝∠AFB，

∴△AFB为等边三角形，

∴∠C＝∠B＝60°．