Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，CD＝1，延长AC到E，使AE＝AB，连接DE，BE．

(1)求BD的长；

(2)求证：DA＝DE．

Answer 1

【答案】(1)BD＝2；(2)证明见解析.

【解析】

（1）根据题意可知∠CAB=60°，想办法证明DA=DB=2CD即可；

（2）由题意可知三角形ABE是等边三角形，然后在证明Rt△DCA≌Rt△DCE，即可求证．

(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AD平分∠CAB，

∴∠CAB＝60°＝2×∠CAD，

∴∠CAD＝∠DAB＝30°；，

∴∠DAB＝∠DBA＝30°，

∴BD＝DA＝2CD＝2．

(2)∵AE＝AB，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴∠EAB＝60°，

∴△ABE是等边三角形，

∵BC⊥AE，

∴AC＝CE，

∵∠ACD＝∠DCE＝90°，CD＝CD，

∴Rt△DCA≌Rt△DCE(SAS)，

∴DA＝DE．