Question

16．如图，已知在矩形ABCD中，BC=2CD=2a，点E在边CD上，在矩形ABCD的左侧作矩形ECGF，使CG=2GF=2b，连接BD，CF，连结AF交BD于点H．

（1）求证：BD∥CF；
（2）求证：H是AF的中点；
（3）连结CH，若HC⊥BD，求a：b的值．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质可知∠G=∠DCB=90°，由BC=2CD=2a，CG=2GF=2b，可知$\frac{FG}{DC}=\frac{GC}{BC}=\frac{b}{a}$，依据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可知：△FGC∽△DCB，由相似三角形的性质可知∠FCG=∠DBC，由平行线的判定定理可知：BD∥CF；
（2）如图1所示：连接AC，交BD于点O．由矩形的性质可知：OC=OA，由平行线分线段成比例定理可知HF=AH；
（3）如图2所示：连接CH，CA，AC与BD交于点O．由勾股定理可知：FC=$\sqrt{5}$b，AC=$\sqrt{5}$a，由矩形的对角线的性质可知DB=AC=$\sqrt{5}$a，CO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{5}}{2}a$．由（2）可知HO是△AFC的中位线，由三角形中位线的性质可知：HO=$\frac{\sqrt{5}}{2}b$．在△BCD中，利用面积法可求得CH=$\frac{2\sqrt{5}a}{5}$，最后在△COH中，由勾股定理得到：（$\frac{\sqrt{5}}{2}b$）²+（$\frac{2\sqrt{5}a}{5}$）²=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$a）²，从而可求得a：b=$\frac{5}{3}$．

解答 解：（1）∵四边形ABCD、四边形ECGF均为矩形，
∴∠G=∠DCB=90°．
∵BC=2CD=2a，CG=2GF=2b，
∴$\frac{FG}{DC}=\frac{GC}{CB}=\frac{b}{a}$．
∴△FGC∽△DCB．
∴∠FCG=∠DBC．
∴BD∥CF．
（2）如图1所示：连接AC，交BD于点O．

∵四边形ABCD为矩形，
∴OC=OA．
又∵FC∥BD，
∴HF=AH．
∴点H是AF的中点．
（3）如图2所示：连接CH，CA，AC与BD交于点O．

由勾股定理可知：FC=$\sqrt{G{F}^{2}+G{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$b，AC=$\sqrt{B{C}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$a．
∵四边形ABCD为矩形，
∴DB=AC=$\sqrt{5}$a，CO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{5}}{2}a$．
∵HO是△AFC的中位线，
∴HO=$\frac{1}{2}$FC=$\frac{\sqrt{5}}{2}b$．
∵${S}_{△DCB}=\frac{1}{2}DC•BC=\frac{1}{2}DB•CH$，
∴CH=$\frac{DC•BC}{DB}$=$\frac{2\sqrt{5}a}{5}$．
在△COH中，由勾股定理可知：HO²+CH²=OC²，即（$\frac{\sqrt{5}}{2}b$）²+（$\frac{2\sqrt{5}a}{5}$）²=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$a）²．
整理得：a²=$\frac{100}{36}{b}^{2}$．
∴a：b=$\frac{5}{3}$．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、相似三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．