Question

8．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC，交⊙O于点D，交AC于点E，连接BD，BD交AC于点F，延长AC到点P，连接PB．
（1）若PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；
（2）如果AB=10，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$，求CE的长度．

Answer 1

分析 （1）欲证明PB是⊙O的切线，只需推知∠ABP=90°即可；
（2）通过解直角三角形得到AC=8，易得OD垂直平分AC．则CE=$\frac{1}{2}$AC=4．

解答 （1）证明：如图，∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
又∵OD∥BC，
∴∠CBD=∠ODB．
∴∠CBD=∠OBD．
∵PF=PB，
∴∠PFB=∠PBF，
又∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠BCF=90°，
∴∠PFB+∠CBD=90°，
∴∠PBF+∠OBD=90°．
又∵AB是直径，
∴PB是⊙O的切线；

（2）解：∵AB=10，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$，∠ACB=90°，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{BC}{10}$=$\frac{3}{5}$，
则BC=6．
则AC=8
又∵OD∥BC，点O是AB的中点，
∴OD垂直平分AC．则CE=$\frac{1}{2}$AC=4．

点评 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．