Question

19．如图，已知二次函数y=ax²-4x+c的图象经过点A（-1，0）和点D（5，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）直接写出该抛物线的对称轴及顶点C的坐标；
（3）抛物线上是否存在点P使得△ADP的面积等于15？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法把点A（-1，0）和D（5，0）．代入二次函数y=ax²-4x+c中，可以解得a，c的值，从而求得函数关系式；
（2）根据（1）中的函数解析式，利用配方法求出对称轴及顶点坐标．
（3）设点P坐标（x，x²-4x-5），根据△ADP的面积等于15得出x的值，从而得出点P的坐标．

解答 解：（1）根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{a+4+c=0}\\{25a-20+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴所求二次函数的解析式为y=x²-4x-5；
（2）y=x²-4x-5；=（x-2）²-9，
∴顶点C坐标为（2，-9），
对称轴为直线x=2．
（3）假设存在点P，使△ADP的面积等于15，设点P坐标（x，x²-4x-5），
∵△ADP的面积等于15，
∴$\frac{1}{2}$AD•|y_P|=15，
∴$\frac{1}{2}$×6×|x²-4x-5|=15，
∴|x²-4x-5|=5，
∴x²-4x-5=5或-5，
∴当x²-4x-5=5时，x=2±$\sqrt{14}$，P₁（2+$\sqrt{14}$，5），P₂（2-$\sqrt{14}$，5）
当x²-4x-5=5时，x=0或4，P₃（0，-5），P₄（4，-5）
∴存在点P，使△ADP的面积等于15，点P的坐标P₁（2+$\sqrt{14}$，5），P₂（2-$\sqrt{14}$，5），P₃（0，-5），P₄（4，-5）．

点评 本题考查了抛物线和x轴的交点问题，以及用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法，三角形面积的求法等知识，难度中等．