Question

7．如图1，已知抛物线y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=$\frac{1}{2}$x-2交于B、C两点，其中点C是直线y=x-2与y轴的交点，连接AC．
（1）点B的坐标是（4，0）；点C的坐标是（0，-2）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点E是线段CB上的一个动点（不与点B、C重合），直线EF∥y轴，交抛物线与点F，问点E运动到何处时，线段EF的长最大？并求出EF的长的最大值；
（4）如图2，点D是抛物线的顶点，判断直线CD是否是经过A、B、C三点的圆的切线，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先令x=0，y=0，求出点C，B坐标，
（2）把点C，B坐标代入抛物线求出a，c的值即可，
（3）由点在直线BC上设出点E的坐标，表示出线段EF的长度，运用二次函数最大值的知识求出点E的位置，
（4）先判断出AB是经过A、B、C三点的圆的直径，确定圆心，连接圆心和切点，证明垂直即可．

解答 解：（1）由题意知直线y=$\frac{1}{2}$x-2交x轴、y轴于点B、C两点，
∴B（4，0），C（0，-2），
（2）∵y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c经过点B，C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=16a-6+c}\\{-2=c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2$；
（3）如图1：

设点E（x，$\frac{1}{2}$x-2），
∵直线EF∥y轴，
∴点F（x，$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2$），
EF=$\frac{1}{2}$x-2-（$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2$），
EF=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x$=$-\frac{1}{2}（x-2）^{2}+2$，
所以当x=2时，EF有最大值是2，
此时E（2，-1），EF的最大值为2；
（4）如图2：

∵y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c与x轴相交于A、B两点，
令y=0，得ax²-$\frac{3}{2}$x+c=0，
解得：x=-1，或x=4，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，-2），
∴OA=1，OC=2，0B=4，
∴tan∠ACO=tan∠CBO=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠OCB+∠CBO=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠ACB=90°，
∴AB是经过A、B、C三点的圆的直径，
设圆心Q，则Q（$\frac{3}{2}$，0），连接QC，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接QD，
y=$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2$顶点坐标为D（$\frac{3}{2}$，$-\frac{25}{8}$），
可求CE=-2-（$-\frac{25}{8}$）=$\frac{9}{8}$，ED=$\frac{3}{2}$，CD=$\frac{15}{8}$，CQ=$\sqrt{O{C}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，QD=$\frac{25}{8}$，
计算得：CD²+CQ²=DQ²，
∴∠QCD=90°，
∴直线CD是经过A、B、C三点的圆的切线．

点评 此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，会用点的坐标表示线段长度，知道运用二次函数解决最值问题，熟悉圆的切线的证明是解题的关键．