Question

11．大庆素有百湖之城的美称，如图所示．在临湖高出水面50米的塔AB顶层A处望见一艘飞艇停留在平静的湖面上空某处．观察到艇底部醒目标志阳目志P处的仰角为45°，又观察到其在湖中的影像的俯角为60°，试求飞艇距湖面的高度h（结果可用含根号的式子表示）．

Answer 1

分析 设AC=x，则PC=AC=x，根据山顶A处高出水面50m，得出DC=50，DP′=x+50，根据∠P′AC=60°，得出P′C=$\sqrt{3}$x，DP′=$\sqrt{3}$x-50，从而列出方程，求出x的值，即可求得飞艇距湖面的高度h．

解答 解：点P在湖中的影像为P′，如右图所示，
设AC=xm，
在Rt△ACP中∠PAC=45°，则∠P=45°，
所以PC=AC=x，
∵山顶A处高出水面50m，
∴DC=50，
∴DP′=DP=PC+DC=x+50，
∵∠P′AC=60°，
∴P′C=tan60°•AC=$\sqrt{3}$x，
∴DP′=P′C-DC=$\sqrt{3}$x-50，
∴x+50=$\sqrt{3}$x-50，
x=50（$\sqrt{3}$+1），
∴h=PD=50$\sqrt{3}$+100，
答：飞艇离湖面的高度是（50$\sqrt{3}$+100）m．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是能借助俯角、仰角构造直角三角形并根据数形结合的思想利用三角函数解直角三角形．