Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO=8：5，BC=3，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质和已知得出∠ODA=∠CBD，由直角三角形的性质得出∠CBD+∠CDB=90°，因此∠ODA+∠CDB=90°，得出∠ODB=90°，即可得出结论；（2）设AD=8k，则AO=5k，AE=2OA=10k，由圆周角定理得出∠ADE=90°，△ADE∽△BCD，得出对应边成比例$\frac{AE}{AD}=\frac{BD}{BC}$，即可求出BD的长．

解答 解：（1）BD是⊙O的切线；理由如下：
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A，
∵∠CBD=∠A，
∴∠ODA=∠CBD，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠ODA+∠CDB=90°，
∴∠ODB=90°，
即BD⊥OD，
∴BD是⊙O的切线；
（2）设AD=8k，则AO=5k，AE=2OA=10k，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠C，
又∵∠CBD=∠A，
∴△ADE∽△BCD，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{BD}{BC}$，
即$\frac{10k}{8k}=\frac{BD}{3}$，
解得：BD=$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形相似得出比例式是解决问题（2）的关键．