Question

11．已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是y₁=-ax²-ax+1，y₂=ax²-ax-1（其中a为常数，且a＞0）．
（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，设y₁=-ax²-ax+1与x轴分别交于M，N两点（M在N的左边），y₂=ax²-ax-1与x轴分别交于E，F两点（E在F的左边），观察M，N，E，F四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由；
（3）设上述两条抛物线相交于A，B两点，直线l，l₁，l₂都垂直于x轴，l₁，l₂分别经过A，B两点，l在直线l₁，l₂之间，且l与两条抛物线分别将于C，D两点，求线段CD的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据给出的抛物线的解析式并且结合函数的图象写出三条不同的结论即可；
（2）先将a=$\frac{1}{2}$代入抛物线解析式，分别求得M、N、E、F四点坐标，再根据四点坐标写出合理的结论；
（3）根据题意求出CD关于x的解析式，然后求出当x=0时，CD的值最大．

解答 解：
（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：
①抛物线y₁=-ax²-ax+1开口向下，或抛物线y₂=ax²-ax-1开口向上；
②抛物线y₁=-ax²-ax+1的对称轴是x=-$\frac{1}{2}$，或抛物线y₂=ax²-ax-1的对称轴是x=$\frac{1}{2}$；
③抛物线y₁=-ax²-ax+1经过点（0，1），或抛物线y₂=ax²-ax-1经过点（0，-1）；
④抛物线y₁=-ax²-ax+1与y₂=ax²-ax-1的形状相同，但开口方向相反；
⑤抛物线y₁=-ax²-ax+1与y₂=ax²-ax-1都与x轴有两个交点；
⑥抛物线y₁=-ax²-ax+1经过点（-1，1）或抛物线y₂=ax²-ax-1经过点（1，-1）；
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，y₁=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x+1，令0=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x+1，
解得x_M=-2，x_N=1．
y₂=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1，令0=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1，解得x_E=-1，x_F=2．
①∵x_M+x_F=0，x_N+x_E=0，
∴点M与点F关于x轴对称，点N与点E关于x轴对称；
②∵x_M+x_F+x_N+x_E=0，
∴M，N，E，F四点横坐标的代数和为0；
③∵MN=3，EF=3，
∴MN=EF（或ME=NF）；
（3）∵a＞0，
∴抛物线y₁=-ax²-ax+1开口向下，抛物线y₂=ax²-ax-1开口向上．
根据题意，得CD=y₁-y₂=（-ax²-ax+1）-（ax²-ax-1）=-2ax²+2．
∴当x=0时，CD的最大值是2．

点评 本题是二次函数的综合题，题中涉及抛物线的性质以及最值的求法等知识点，解题时要注意数形结合数学思想的运用，是各地中考的热点和难点，同学们要加强训练，属于中档题．