Question

3．如图所示，抛物线y=ax²+x+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求出此抛物线的解析式及对称轴方程．
（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式．
（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q，是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可将A，B两点的坐标代入函数的解析式中，可求出抛物线的解析式．进而求出对称轴方程；
（2）四边形ABDC为等腰梯形可知，C、D纵坐标相等可求得D点坐标，根据A、D坐标用待定系数法可求出直线解析式；
（3）分两大类共四种情况，第①类P与M的纵坐标相等，第②类P与M的纵坐标互为相反数分别计算，可得P的坐标．

解答 解：（1）根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{4a-2+c=0}\\{36a+6+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式为：y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$，
∵y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$=$-\frac{1}{4}（x-2）^{2}+4$，
∴对称轴方程为：x=2；
（2）∵四边形ABDC为等腰梯形，
∴C、D两点纵坐标相等，等于3；
在函数：y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$中当y=3时，有$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$=3，
解得：x₁=0，x₂=4，
故D点坐标为（4，3），
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线经过点A（-2，0）、点D（4，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{4k+b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
直线AD的解析式为 $y=\frac{1}{2}x+1$；
（3）存在，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{x=2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
故点M（2，2）．
①如图1，

若四边形AQPM为平行四边形，则PM∥AQ，即PM∥x轴，
∴P与M的纵坐标相等，
在y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$中，当y=2时，有$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$=2，解得：$x=2±2\sqrt{2}$，
故此时点P坐标为：$（2+2\sqrt{2}，2）$或$（2-2\sqrt{2}，2）$；
②如图2，

过点P作PN⊥AQ垂足为N，则∠AEM=∠PNQ=90°，
∵四边形AQPM为平行四边形，
∴AM=PQ，∠MAE=∠PQN，
在△AME和△QPN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠PQN}\\{∠AEM=∠PNQ}\\{AM=QP}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△QPN（AAS），
∴ME=PN，
故M、P的纵坐标互为相反数，
在y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$中，当y=-2时，有$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$=-2，解得：$x=2±2\sqrt{6}$，
故此时点P的坐标为：$（2+2\sqrt{6}，-2）$或$（2-2\sqrt{6}，-2）$；
综上，点P的坐标为：$（2+2\sqrt{2}，2）$、$（2-2\sqrt{2}，2）$、$（2+2\sqrt{6}，-2）$、$（2-2\sqrt{6}，-2）$．

点评 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及四边形与二次函数相关综合知识，分类讨论是解题关键，找出满足条件的所有点的坐标是难点．