Question

8．如图，将边长为4的正方形ABCD折叠，使B点落在边AD上，记作B′（不与A、D重合）、EF为折痕，设AB′=x．
（1）用x的代数式表示BE的长；
（2）设四边形BCFE的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出定义域．

Answer 1

分析 （1）设BE=B'E=y，在RT△AEB′中利用勾股定理即可得出答案．
（2）作FM⊥AB垂足为M，由△ABB′≌△MFE得AB′=EM=x得出CF=BM=BE-EM，求出四边形BCFE的面积为S即可．

解答 解：（1）设BE=B'E=y，
因此有：x²+（4-y）²=y²，
整理得：y=$\frac{1}{8}$x²+2；
（2）如图作FM⊥AB垂足为M，
∵四边形EB′C′F是由四边形EBCF翻折得到，
∴EF⊥BB′，
∴∠ABB′+∠BEF=90°，∠BEF+∠MFE=90°，
∴∠ABB′=∠MFE，
∵A四边形BCD是正方形，
∴∠MBC=∠C=∠BMF=90°，
∴四边形MFCB是矩形，
∴MF=BC=AB，
在△ABB′和△MFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABB′=∠MFE}\\{AB=MF}\\{∠A=∠EMF}\end{array}\right.$，
∴△ABB′≌△MFE，
∴ME=AB′=x，
∴FC=BM=EB-EM=$\frac{1}{8}$x²-x+2，
∴S=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{8}{x}^{2}+2+\frac{1}{8}{x}^{2}-x+2$）•4=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x+8（0＜x＜4）．

点评 此题考查了翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、梯形的面积的求法等知识，利用翻折不变性是解题的关键．