Question

13．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E为BC的中点．连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接CF，现将△CEF绕点E顺时针旋转α角（其中0°≤α≤180°）得到△EC₁F₁，旋转过程中，直线C₁F₁分别交射线EC、射线AE于点M、N，当EM=EN时，则CM=6-$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 如图作EK⊥FC，EJ⊥MN垂足分别为K、J，延长JE交AB于G，作GH⊥AE垂足为H，根据条件可以求出EK=EJ=$\frac{24}{5}$，BG=3，EG=3$\sqrt{5}$，利用△EBG∽△EJM求出EM，即可解决问题．

解答 解：如图作EK⊥FC，EJ⊥MN垂足分别为K、J，延长JE交AB于G，作GH⊥AE垂足为H．
∵四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=12，BE=EC
∴∠B=90°，BE=6，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=10，
∵△AEF是△AEB翻折，
∴∠B=∠AFE=90°，∠BAE=∠EAF，
∴∠BAF+∠BEF=180°，
∵∠BEF+∠FEC=180°，
∴∠FEC=∠BAF，
∵EF=EC，EK⊥FC，
∴∠FEK=∠CEK，
∴∠BAE=∠CEK，
∵∠ABE=∠EKF，
∴△ABE∽△EKF，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{AB}{EK}$，即$\frac{10}{6}=\frac{8}{EK}$，
∴EK=$\frac{24}{5}$，
∵△EC₁F₁是由△EFC旋转，EK⊥FC，EJ⊥F₁C₁，
∴EJ=EK=$\frac{24}{5}$，
∵EM=EN，EJ⊥MN，
∴∠MEJ=∠NEJ，
∵∠GEB=∠MEJ，∠GEH=∠NEJ，
∴∠GEB=∠GEH，∵GB⊥BE，GH⊥HE，
∴GB=GH，设GB=GH=x，
在RT△AGH中，由AG²=GH²+AH²，得（8-x）²=x²+4²，
∴x=3，
∴BG=GH=3，AG=5，
∴EG=$\sqrt{B{G}^{2}+B{E}^{2}}$=，3$\sqrt{5}$，
∵∠BEG=∠MEJ，∠B=∠EJM=90°，
∴△EBG∽△EJM，
∴$\frac{EG}{EM}=\frac{BE}{EJ}$，
∴$\frac{3\sqrt{5}}{EM}=\frac{6}{\frac{24}{5}}$，
∴EM=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∴CM=EC-EM=6-$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
故答案为6-$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了翻折和旋转的有关性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，构造三角形相似是解题关键．