Question

5．如图，以扇形AOB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），∠AOB=45°．现从$-2，-\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$中随机选取一个数记为a，则a的值既使得抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+a$与扇形AOB的边界有公共点，又使得关于x的方程$\frac{ax+1}{x-2}=-1$的解是正数的概率是$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 根据题意可以求得点A的坐标，由关于x的方程$\frac{ax+1}{x-2}=-1$的解是正数可以求得a的取值范围，抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+a$与扇形AOB的边界有公共点，可以求得相应的a的取值范围，从而可以得到满足a的值既使得抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+a$与扇形AOB的边界有公共点，又使得关于x的方程$\frac{ax+1}{x-2}=-1$的解是正数的a的取值范围，从而可以得到符合要求的a的值，进而求得概率是多少．

解答 解：由已知可得，OB=2，OA=2，∠AOB=45°，
则点A的横坐标为：OA•cos45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，纵坐标为：OA•sin45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
即点A的坐标为：（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），
∵$\frac{ax+1}{x-2}=-1$，
解得x=$\frac{1}{a+1}$，
∴方程$\frac{ax+1}{x-2}=-1$的解是正数时，$\frac{1}{a+1}＞0$且$\frac{1}{a+1}≠2$，得a＞-1且a$≠-\frac{1}{2}$，
又∵抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+a$与扇形AOB的边界有公共点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{×（\sqrt{2}）}^{2}+a≤\sqrt{2}}\\{\frac{1}{2}×{2}^{2}+a≥0}\end{array}\right.$
解得$-2≤a≤\sqrt{2}-1$，
∴a的值既使得抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+a$与扇形AOB的边界有公共点，又使得关于x的方程$\frac{ax+1}{x-2}=-1$的解是正数时满足的条件是：-1＜a＜$\sqrt{2}-1$且a$≠-\frac{1}{2}$，
∴从$-2，-\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$中随机选取一个数记为a，符合要求的只有0，
∴从$-2，-\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$中随机选取一个数记为a，则a的值既使得抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+a$与扇形AOB的边界有公共点，又使得关于x的方程$\frac{ax+1}{x-2}=-1$的解是正数的概率是：$\frac{1}{6}$．
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查二次函数综合题、解不等式组和解方程、概率，解题的关键是明确题意，可以求出符合要求的a的取值范围，会计算概率．