Question

14．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P以每秒一个单位的速度从点A出发，沿对角线AC向点C移动，同时动点Q以相同的速度从点C出发，沿边CB向点B移动．设P，Q两点移动时间为t秒（0≤t≤4）．
（1）用含t的代数式表示线段PC的长是5-t；
（2）当△PCQ为等腰三角形时，求t的值；
（3）以BQ为直径的圆交PQ于点M，当M为PQ的中点时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求出AC，根据题意用t表示出AP，结合图形计算即可；
（2）分CP=CQ、QP=QC、PQ=PC三种情况，根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质计算即可；
（3）连接BP、BM，根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一得到BP=BQ，根据勾股定理用t表示出BP、BQ，列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵点P的速度是每秒一个单位，移动时间为t秒，
∴AP=t，
则PC=AC-AP=5-t，
故答案为：5-t；
（2）当CP=CQ时，t=5-t，
解得t=$\frac{5}{2}$，
当QP=QC时，过点Q作QH⊥AC于H，如图1，
则PH=HC=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$（5-t），QC=t，
∵QH⊥AC，∠B=90°，
∴△CHQ∽△CBA，
∴$\frac{CH}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$，即$\frac{\frac{1}{2}（5-t）}{4}$=$\frac{t}{5}$，
解得t=$\frac{25}{13}$，
当PQ=PC时，如图2，
过点P作PN⊥QC于N，
则NC=NQ=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$t，
∵△CPN∽△CAB，得
$\frac{PC}{AC}$=$\frac{CN}{CB}$，即$\frac{5-t}{5}$=$\frac{\frac{1}{2}t}{4}$，
解得t=$\frac{40}{13}$，
综上所述，当t=$\frac{5}{2}$或t=$\frac{25}{13}$或t=$\frac{40}{13}$时，△PCQ为等腰三角形；
（3）连接BP、BM，如图3，则∠BMQ=90°，
∵M为PQ的中点，
∴BP=BQ，
过点P作PK⊥AB于K，
∵AP=t，
∴PK=$\frac{4}{5}$t，AK=$\frac{3}{5}$t，
∴BK=3-$\frac{3}{5}$t，
在Rt△BPK中，PB²=PK²+BK²=（3-$\frac{3}{5}$t）²+（$\frac{4}{5}$t）²，又BQ=4-t，
∴（4-t）²=（3-$\frac{3}{5}$t）²+（$\frac{4}{5}$t）²，
解得t=$\frac{35}{22}$．
∴以BQ为直径的圆交PQ于点M，当M为PQ的中点时，t的值为$\frac{35}{22}$．

点评 本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理、灵活运用数形结合思想、正确作出辅助线是解题的关键．