Question

8．已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（-1，0），点C的坐标是（0，-3）．在第四象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交BC于点F．设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数表达式； 
（2）连接AC，AF，若∠ACB=∠FAB，求点F的坐标；
（3）在直线DE上作点H，使点H与点D关于点F对称，以H为圆心，HD为半径作⊙H，当⊙H与其中一条坐标轴相切时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是（-1，0），点C的坐标是（0，-3），可以求得抛物线的函数表达式；
（2）由∠ACB=∠FAB，∠ABC=∠FBA，可得△ABC∽△FBA，从而可以得到BF的长度，根据B、C两点可以求得直线BC的解析式，由点F在直线BC上，从而可以求得点F的坐标；
（3）由题意可得分两种情况，一种是与x轴相切，一种是与y轴相切，从而本题得以解决．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是（-1，0），点C的坐标是（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$
解得，b=-2，c=-3，
即抛物线的函数表达式是：y=x²-2x-3；
（2）由x²-2x-3=0，得x₁=-1，x₂=3，
∴点B的坐标为（3，0），
∵点C的坐标是（0，-3），
∴过点B、C的解析式为y=kx+m，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+m=0}\\{m=-3}\end{array}\right.$
解得，k=1，m=-3，
即直线BC的解析式为y=x-3，
设点F的坐标为（m，m-3），
∵∠ACB=∠FAB，∠ABC=∠FBA，
∴△ABC∽△FBA，
∴$\frac{BA}{BC}=\frac{BF}{BA}$
∵点B的坐标为（3，0），点A的坐标是（-1，0），点C的坐标是（0，-3），
∴BA=3-（-1）=4，BC=$\sqrt{{3}^{2}+|-3{|}^{2}}=3\sqrt{2}$，
∴BF=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
∵直线BC的解析式为y=x-3，点F的坐标为（m，m-3），
∴∠EBF=45°，BE=3-m，
∴sin45°=$\frac{BE}{BF}=\frac{3-m}{\frac{8\sqrt{2}}{3}}$
解得，m=$\frac{1}{3}$，
即点F的坐标是（$\frac{1}{3}，-\frac{8}{3}$）；
（3）设点D的坐标为（m，m²-2m-3），点F的坐标为（m，m-3），
则点H的坐标为（m，-m²+4m-3），
∴DH=-2m²+6m，
当⊙H与x轴相切时，
-2m²+6m=-（-m²+4m-3）
解得，${m}_{1}=\frac{1}{3}，{m}_{2}=3$（舍去）；
当⊙H与y轴相切时，
-2m²+6m=m，
解得，${m}_{3}=\frac{5}{2}，{m}_{4}=0$（舍去），
由上可得，点m的值为$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、求抛物线的解析式、求点的坐标、分类讨论的数学思想，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，能根据已知抛物线上的点求抛物线的解析式，利用三角形相似解相关问题、会用分类讨论的数学思想解答问题．