Question

15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，现将△ABC绕着顶点B旋转，记点C的对应点为点C₁，当点A，B，C₁三点共线时，求∠BC₁C的正切值=3或$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 作CE⊥AB垂足为E，根据题意有两种情形，分别在RT△CEC₁和RT△CEC₁′根据正切值的定义求出．

解答 解：如图作CE⊥AB，垂足为E，
情形①当点C₁在线段AB上时，
∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵$\frac{1}{2}$AB•CE=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CE=$\frac{12}{5}$，
∴EB=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∵BC=BC₁，
∴EC₁=BC₁-EB=4-$\frac{16}{5}$=$\frac{4}{5}$，
∴tan∠BC₁C=$\frac{EC}{E{C}_{1}}$=3．
情形②当C₁′在AB的延长线上时，tan∠BC₁′C=$\frac{EC}{E{C}_{1}′}$=$\frac{\frac{12}{5}}{4+\frac{16}{5}}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为3或$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查正切值的定义、勾股定理、旋转的有关概念，正确作出图形是解决问题的关键．