Question

1．三个全等的直角梯形①、②、③在平面直角坐标系中的位置如图所示，抛物线y=ax²+bx+c经过梯形的顶点A、B、C、D，已知梯形的两条底边长分别为4，6，则梯形的两腰长分别为2、2$\sqrt{2}$，该抛物线解析式为y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+6$．

Answer 1

分析 如图所示：过A作AH⊥OB，垂足为H．先证明梯形ABOE为直角梯形，然后由全等图形的性质可知∠ABH=∠BOF=∠DOF=45°，在△AHB中由特殊锐角三角函数值可求得AB=2$\sqrt{2}$，EO=AH=2，从而得到点A的坐标为（-2，4），由题可知点B（0，6）、D（6，0），设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将点A、B、D的坐标代入得到关于a、b、c的三元一次方程组，然后求得a、b、c的值，从而可求得抛物线的解析式．

解答 解：如图所示：过A作AH⊥OB，垂足为H．

∵∠BOE=90°，
∴梯形AEBO为直角梯形．
∴BH=BO-HO=6-4=2．
∵三个梯形全等，
∴∠ABH=∠BOF=∠DOF，
∵∠BOF+FOD=90°，
∴∠ABH=∠BOF=∠DOF=45°．
∴AB=$\sqrt{2}$BH=2$\sqrt{2}$，AH=BH=2．
∵EO=AH，
∴EO=2．
∵AE=4，EO=2，
∴点A的坐标为（-2，4）．
∵OB=OD=6，
∴B（0，6）、D（6，0）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
将点A、B、D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=4}\\{c=6}\\{36a+6b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{2}}\\{c=6}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+6$．
故答案为：2、2$\sqrt{2}$；y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+6$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要利用了梯形的性质、全等图形的性质、特殊锐角三角函数值，待定系数法求抛物线的解析式，由全等图形的性质求得∠ABH=45°，利用特殊锐角三角函数值求得BH和AH的长是解题的关键．