Question

11．【试题背景】
已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d₁、d₂、d₃，且d₁=d₃=1，d₂=2．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．
【探究1】
（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE⊥l于点E，BE的反向延长线交直线k于点F，求正方形ABCD的边长．
【探究2】
（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，则矩形ABCD的宽为$\frac{\sqrt{13}}{2}$或$\frac{\sqrt{37}}{2}$或．（直接写出结果即可）
【探究3】
如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形，AE⊥k于点E，∠AFD=90°，直线DF分别交直线l、k于点G、点M．求证：EC=DF．
【拓展】
（4）如图3，l∥k，等边△ABC的顶点A、B分别落在直线l、k上，AB⊥k于点B，且AB=4，∠ACD=90°，直线CD分别交直线l、k于点G、点M、点D、点E分别是线段GM、BM上的动点，且始终保持AD=AE，DH⊥l于点H．
猜想：DH在什么范围内，BC∥DE？并说明此时BC∥DE的理由．

Answer 1

分析 （1）证明△ABE≌△BCF，得出AE=BF，因此BE=3，AE=1，由勾股定理即可得出结果；
（2）过B作BE⊥l于点E，交k于点F则BE=1，BF=3，证出△AEB∽△BFC，当AB是较短的边时，AB=$\frac{1}{2}$BC，则AE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3}{2}$，由勾股定理求出AB；当AB是长边时，同理可得：BC=$\frac{{\sqrt{37}}}{2}$；即可得出结果；
（3）连接AC，由菱形的性质和已知条件得出AC=AD，由HL证明Rt△AEC≌Rt△AFD，即可得出EC=DF；
（4）当2＜DH＜4时，点D在线段CM上，连接AM．由HL证明Rt△ABM≌Rt△ACM，得出∠BAM=∠CAM，因此AM⊥BC，由HL证明Rt△ABE≌Rt△ACD，得出∠BAE=∠CAD，因此∠EAM=∠DAM，得出AM⊥ED．即可得出结论．

解答 （1）解：∵l∥k，BE⊥l，
∴∠BFC=∠BEA=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEA=∠CFB}&{\;}\\{∠BAE=∠CBF}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∵d₁=d₃=1，d₂=2，
∴BE=3，AE=1，
在直角△ABE中，AB=$\sqrt{B{E^2}+A{E^2}}$=$\sqrt{{3^2}+{1^2}}$=$\sqrt{10}$，
即正方形的边长是$\sqrt{10}$；
（2）解：过B作BE⊥l于点E，交k于点F，
则BE=1，BF=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
又∵直角△ABE中，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠FBC=∠EAB，
∴△AEB∽△BFC，
当AB是较短的边时，如图（a），
AB=$\frac{1}{2}$BC，则AE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3}{2}$，
在直角△ABE中，AB=$\sqrt{1+{{（{\frac{3}{2}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{13}}}{2}$；
当AB是长边时，如图（b）
同理可得：BC=$\frac{{\sqrt{37}}}{2}$；
故答案为：$\frac{{\sqrt{13}}}{2}$或$\frac{{\sqrt{37}}}{2}$；
（3）证明：连接AC，如图2所示：
∵四边形ABCD是菱形，且∠ADC=60°，
∴AC=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
∵AE⊥k，∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD=90°，
在Rt△AEC和Rt△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEC≌Rt△AFD（HL），
∴EC=DF；
（4）解：当2＜DH＜4时，BC∥DE．理由如下：
如图3所示，当2＜DH＜4时，点D在线段CM上，连接AM，
则∠ABM=∠ACM=90°，AB=AC，AM=AM，
在Rt△ABM和Rt△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABM≌Rt△ACM（HL），
∴∠BAM=∠CAM，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABE和Rt△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ACD（HL），
∴∠BAE=∠CAD，
∴∠EAM=∠DAM，
∴AM⊥ED，
∴BC∥DE．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定、菱形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．