Question

2．如图，AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠EAC，DE=CB．
（1）求证：四边形DEBC是矩形．
（2）若△ABC是等边三角形，BC=4，EB=2，求AD²的值．
（3）某班的清洁区形如五边形ADCBE，值日生李拼、张博两人必须在规定时间内打扫完毕，若李拼单独完成需12分钟，张博单独完成需15分钟．张博打扫6分钟后，李拼加入一起打扫，两人恰好在规定时间内完成，求规定时间．

Answer 1

分析 （1）借助已有的条件先证明△ADC≌△AEB，得出DC=EB，从而断定四边形DEBC为平行四边形，再由边角关系去证明∠EDC=90°即可得出结论；
（2）作辅助线AN∥CD，由于△ABC是等边三角形，从而可以得出直角三角形AMD中的两直角边，根据勾股定理即可求得；
（3）巧妙的假设总清扫量为1，由已知即可找到规定的时间．

解答 （1）证明：∠DAB=∠DAC+∠BAC，∠EAC=∠EAB+∠BAC，
∵∠DAB=∠EAC，
∴∠DAC=∠EAB，
在△DAC与△EAB中，
有$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠DAC=∠EAB}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴DC=EB，∠ADC=∠AEB，
∵DE=CB，
∴四边形DEBC是平行四边形（两组对边相等），
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
又∵∠ADC=∠AEB，且∠EDC=∠ADC-∠ADE，∠DEB=∠AEB-∠AED，
∴∠EDC=∠DEB，
∵四边形DEBC是平行四边形，
∴∠EDC+∠DEB=180°（平行四边形同旁内角互补），
∴∠EDC=∠DEB=90°，
∴四边形DEBC是矩形．
证毕．
（2）解：过点A做AN∥CD，交DE于M点，交BC于N点，如图：

∵四边形DEBC是矩形，AM∥CD，
∴AM⊥DE，AN⊥BC，DM=CN，
∵△ABC是等边三角形，BC=4，
∴CN=$\frac{1}{2}$BC=2，AB=AC=BC=4，
∴AN=$\sqrt{A{C}^{2}-C{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵CD=BE=MN=2，AM=AN-MN，
∴AM=2$\sqrt{3}$-2，
由AM⊥DE可知：AD²=AM²+DM²=AM²+CN²=20-8$\sqrt{3}$，
答：AD²的值为20-8$\sqrt{3}$．
（3）解：设该班的清洁区总工作量为1，那么李拼每分钟打扫$\frac{1}{12}$、张博每分钟打扫$\frac{1}{15}$，
由题意可知打扫时间为6+（1-$\frac{1}{15}$×6）÷（$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{15}$）=6+$\frac{9}{15}$÷$\frac{9}{60}$=6+4=10（分钟），
故规定的时间为10分钟．

点评 本题考查到了矩形的判定定理，勾股定理，等边三角形三线合一问题已经巧设方程，解题的关键是结合图形，熟练的利用各大定理．