Question

12．如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为A、B．
（1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；
（2）填空：
①当$\widehat{ADB}$的长为$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP=（$\sqrt{2}$-1）cm时，四边形AOBP是正方形．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接AO，根据切线的性质得到∠PAO=90°，根据三角形内角和得到∠AOP=60°，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CAO=30°，即可得到结论；
（2）①由四边形AOBD是菱形，得到AO=AD，由于AO=OD，推出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOD=60°，易得圆心角为120度或240度．根据弧长公式进行计算即可；
②当四边形AOBP为正方形时，则有PA=OA，再结合切割线定理可求得PD，可得出答案．

解答 解：（1）如图1，连接AO，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∵∠APO=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OC，
∴∠C=∠CAO=30°，
∴∠C=∠APO，
∴△ACP是等腰三角形；

（2）如图2，①∵四边形AOBD是菱形，
∴AO=AD，
∵AO=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
则∠AOB=120°，
∴$\widehat{ADB}$的长为：$\frac{120π×1}{180}$=$\frac{2π}{3}$或$\frac{240π×1}{180}$=$\frac{4π}{3}$
故答案是：$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$；
②当四边形AOBP为正方形时，则有PA=AO=1cm，
∵PA为⊙O的切线，
∴PA²=PD•PC，且CD=2cm，
∴1=PD（PD+2），整理可得PD²+2PD-1=0，
解得PD=$\sqrt{2}$-1或PD=-$\sqrt{2}$-1（舍去），
∴PD=$\sqrt{2}$-1（cm），
∴当PD=（$\sqrt{2}$-1）cm时，四边形AOBP为正方形；
故答案为：（$\sqrt{2}$-1）．

点评 本题考查了切线的性质，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．