Question

4．已知，如图，在?ABCD中，AC是对角线，AB=AC，点E、F分别是BC、AD的中点，连接AE，CF．
（1）四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论；
（2）当△ABC的角满足什么条件时，四边形AECF是正方形？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，求出AF=CE，AF∥CE，求出四边形AECF是平行四边形，求出∠AEC=90°，即可得出答案；
（2）求出AE=EC=$\frac{1}{2}$BC，即可得出答案．

解答 （1）四边形AECF是矩形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD，CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴AF=CE，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AB=AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形；

（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形AECF是正方形，
证明：∵∠BAC=90°，E为BC的中点，
∴AE=EC=$\frac{1}{2}$BC，
∵四边形AECF是矩形，
∴四边形AECF是正方形，
∴当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形AECF是正方形．

点评 本题考查了矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．