Question

7．在等边△ABC的外侧作直线BM，点A关于直线BM的对称点为D，连结AD，CD，设CD交直线BM于点E．

（1）依题意补全图1，若∠ABM=30°，求∠BCE的度数；
（2）如图2，若60°＜∠ABM＜90°，判断直线BM和CD相交所成的锐角的度数是否为定值？若是，求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以作出相应的图形，连接BD，由题意可得到四边形ADBC是菱形，根据菱形的对角线平分每一组对角，可以得到∠BCE的度数；
（2）画出相应的图形，根据对称的性质可以得到相等的线段和相等的角，由等边△ABC，可以得到BC=BA，然后根据三角形内角和是180°，可以推出直线BM和CD相交所成的锐角的度数，本题得以解决．

解答 解：（1）补全的图1如下所示：

连接BD，如上图1所示，
∵由已知可得，BM垂直平分AD，∠ABM=30°，△ABC是等边三角形，
∴△BDA是等边三角形，AD∥BC且AD=BC，DA=DB，
∴四边形ADBC是菱形，
∵∠ACB=60°，
∴∠BCE=30°；
（2）直线BM和CD相交所成的锐角的度数是定值，若下图所示，

连接AE交BC于点F，
由已知可得，BD=BA，BA=BC，ED=EA，
则∠BDA=∠BAD，∠EDA=∠EAD，BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，∠EDB=∠EAB，
∴∠BCD=∠EAB，
∵∠EFC=∠BFA，∠ABC=60°，
∴∠CEA=∠ABC=60°，
∵∠AEC+∠AEM+∠DEM=180°，∠DEM=∠AEM，
∴∠DEM=60°，
即直线BM和CD相交所成的锐角的度数是定值，这个锐角的度数是60°．

点评 本题考查了根据轴对称变换作图以及等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，根据所求问题可以探索出所求问题需要的条件．