Question

17．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P（不与A、B重合），连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交线段BC于点E，设AP=x．
（1）当x为何值时，△APD是等腰三角形？
（2）若设BE=y，求y关于x的函数关系式；
（3）若BC的长a可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C？若不存在，请说明理由；若存在，写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C，并求出相应的AP的长．

Answer 1

分析 （1）表示出PH，然后分①当AP=AD时，②当AD=PD时，根据等腰三角形三线合一的性质，AH=PH，列式进行计算即可得解；③当AP=PD时，表示出PH，然后在Rt△DPH中，根据勾股定理列式进行计算即可得解；
（2）根据同角的余角相等求出∠HDP=∠EPB，再根据两角对应相等，两三角形相似求出△DPH和△PEB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理即可得解；
（3）根据PQ过点C时，BE=4，代入（2）的BE的表达式，再根据一元二次方程的解确定即可．

解答 解：（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，

∴DH=BC=4，HB=CD=6，
∴AH=2，AD=2$\sqrt{5}$，
∵AP=x，
∴PH=x-2，
情况①：当AP=AD时，即x=2$\sqrt{5}$，
情况②：当AD=PD时，则AH=PH，
∴2=x-2，
解得x=4，
情况③：当AP=PD时，则Rt△DPH中，x²=4²+（x-2）²，
解得x=5，
∵2＜x＜8，
∴当x为2$\sqrt{5}$、4、5时，△APD是等腰三角形；
（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，
∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°，
∴∠HDP=∠EPB，
又∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB，
∴$\frac{DH}{PH}=\frac{PB}{EB}$，
∴$\frac{4}{x-2}=\frac{8-x}{y}$，
整理得：$y=\frac{1}{4}（x-2）（8-x）=-\frac{1}{4}{x^2}+\frac{5}{2}x-4$；
（3）存在，
由（2）得△DPH∽△PEB，
∴$\frac{a}{8-x}=\frac{x-2}{y}$，
∴y=$\frac{{（{8-x}）（{x-2}）}}{a}$，
当y=a时，（8-x）（x-2）=a²，即x²-10x+（16+a²）=0，△=100-4（16+a²）≥0，
即100-64-4a²≥0，
即a²≤9，
又∵a＞0，
∴0＜a≤3，
∴当BC满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过C，
此时，AP的长为$x=\frac{{10±\sqrt{100-4（16+{a^2}）}}}{2}=5±\sqrt{9-{a^2}}$．

点评 本题考查了四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解的情况，综合性较强，难度较大，（1）要根据等腰三角形的腰长的不同分情况讨论．