Question

12．如图所示，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P．
（1）求∠APE的度数；
（2）连接CP，若CP⊥AD，求BP：AP的值．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠ABD=∠C，AB=BC，推出△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠CBE，由于∠ABE+∠EBC=60°，求得∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，即可得到结论；
（2）延长AP到F使PF=BP，连接CF，得到△PBF是等边三角形，由等边三角形的性质得到∠PBF=∠ABC=60°，求得∠ABP=∠CBF，推出△ABP≌△BCF，根据全等三角形性质得到CF=AP，∠BAP=∠BCF，太迟A，B，F，C四点共圆，根据圆周角定理得到∠AFC=∠ABC=60°，根据直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=∠C，AB=BC，
在△ABD与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠C}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=60°；

（2）延长AP到F使PF=BP，连接CF，
∵∠BPF=∠APE=60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴∠PBF=∠ABC=60°，
∴∠ABP=∠CBF，
在△ABP与△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBF}\\{BP=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCF，
∴CF=AP，∠BAP=∠BCF，
∴A，B，F，C四点共圆，
∴∠AFC=∠ABC=60°，
∵∠CPF=90°，
∴∠PCF=30°，
∴PF=$\frac{1}{2}$CF，
∴PB=$\frac{1}{2}$AP，即PB：AP=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，四点共圆，正确的作出辅助线是解题的关键．