Question

20．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且$\widehat{AB}$=60°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点．若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为9．

Answer 1

分析 首先连接OA、OB，求出∠AOB=60°，进而判断出△AOB为等边三角形；然后根据⊙O的半径为6，可得AB=OA=OB=6，再根据三角形的中位线定理，求出EF的长度；最后判断出当弦GH是圆的直径时，它的值最大，进而求出GE+FH的最大值是多少即可．

解答 解：连接OA、OB，
∵$\widehat{AB}$=60°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵⊙O的半径为6，
∴AB=OA=OB=6，
∵点E，F分别是AC、BC的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×6$=3，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：6×2=12，
∴GE+FH的最大值为：12-3=9．
故答案为：9．

点评 此题主要考查了三角形中位线定理的应用，等边三角形的性质和判定，圆周角定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．