Question

5．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点O是BC的中点，如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，并在移动过程中始终保持AN=BM．
（1）求证：△ANO≌△BMO；
（2）求证：OM⊥ON．

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明△AON≌△BOM即可；
（2）根据全等三角形的性质和垂直的定义证明即可．

解答 证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，
∴OA⊥BC，OA=OB=OC，
∴∠NAO=∠B=45°，
在△AON与△BOM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=BM}\\{∠NAO=∠B}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AON≌△BOM；
（2）∵△AON≌△BOM，
∴∠NOA=∠MOB，
∵AO⊥BC，
∴∠AOB=90°，
即∠MOB+∠AOM=90°．
∴∠NOM=∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM=90°，
∴OM⊥ON．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．