Question

5．点P在图形M上，点Q在图形N上，记d_max（M，N）为线段PQ长度的最大值，d_min（M，N）为线段PQ长度的最小值，图形M、N的平均距离Ed（M，N）=$\frac{{{d_{max}}（M，N）+{d_{min}}（M，N）}}{2}$．已知A（0，0），B（2，0），C（4，2），线段AB以每秒1个单位的速度沿着x轴正方向匀速运动．

（1）如图1，求经过1秒后，Ed（C，AB）；
（2）写出线段AB在运动过程中Ed（C，AB）关于时间t的函数解析式；
（3）如图2，已知抛物线的一部分m：y=（x-2）²+$\frac{9}{4}$（0≤x≤2）和线段EF：y=-x+1（0≤x≤1），求Ed（EF，m）．

Answer 1

分析 （1）求出当t=1时A、B、C的坐标，再求出AC及BC的值，进而可得出结论；
（2）分t＜2或t＞4；2＜t＜3；3＜t＜4三种情况进行讨论；
（3）设与EF平行且与抛物线只有一个公共点的D的直线L的解析式为y=-x+b，联立两直线的解析式得出D点坐标，过点D且垂直于直线EF的解析式为y=x+1，故d_min（EF，m）=DE，d_max（EF，m）=HF，由此可得出结论．

解答 解：（1）∵当t=1时，A（1，0），B（3，0），C（4，2）．
∴d_max=AC=$\sqrt{13}$，d_min=BC=$\sqrt{5}$，
∴Ed（C，AB）=$\frac{\sqrt{13}+\sqrt{5}}{2}$；

（2）依题意得 A（t，0），B（t+2，0）
当t＜2或t＞4时，Ed（C，AB）=$\frac{\sqrt{（4-t）^{2}+4}+\sqrt{（t-2）^{2}+4}}{2}$；
当2＜t＜3时，Ed（C，AB）=$\frac{\sqrt{{（4-t）}^{2}+4}+2}{2}$； 
当3＜t＜4时，Ed（C，AB）=$\frac{2+\sqrt{{（t-2）}^{2}+4}}{2}$．

（3）如图，设与EF平行且与抛物线只有一个公共点的D的直线L的解析式为y=-x+b，
由-x+b=（x-2）²+$\frac{9}{4}$，令△=0，得b=4，即L为：y=-x+4
由又∵$\left\{\begin{array}{l}y=-x+4\\ y=（x-2）^{2}+\frac{9}{4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ y=\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．
过点D且垂直于直线EF的解析式为：y=x+1
∵y=x+1与y=-x+1交于点E（0，1）
∴d_min（EF，m）=DE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
又∵抛物线与y轴交于点H，
∴d_max（EF，m）=HF=$\frac{\sqrt{641}}{4}$，
∴Ed（EF，m）=$\frac{6\sqrt{2}+\sqrt{641}}{8}$．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到直线与抛物线相切与垂直的问题，解题的关键是正确理解题中最大值、最小值与平均值的表示方法．