Question

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为y=-x²+2x+5，点A为抛物线上一点，且坐标为（-1，a）．
（1）求a的值．
（2）点B为对称轴上一点，连接AB，绕点B逆时针旋转90°，恰与第三象限的抛物线交于一点C，求点C的坐标．
（3）在（2）的条件下，对称轴上有一点D，点E在CD的延长线上，且CD=3DE，当tan∠DAE=$\frac{1}{2}$时，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入抛物线解析式即可求出a的值；
（2）先求出抛物线的对称轴，并在对称轴上待定点B（1，b），过点A，C向轴作垂线，运用全等三角形对应边相等建立方程求出b的值，进一步确定点C坐标；
（3）过点A作y轴的平行线，在此线上取点M，N，使tan∠EMA=$\frac{1}{2}$，tan∠DNA=$\frac{1}{2}$，易证△EMA∽△AND，得出$\frac{ME}{AM}=\frac{AN}{ND}$，设点E（2，m），可求：AM=4+m，ME=$3\sqrt{5}$，AN=$\frac{27}{4}-\frac{3}{4}m$，DN=$2\sqrt{5}$，代入即可求解．

解答 解：（1）把点A（-1，a）代入y=-x²+2x+5得，a=-1-2+5=2，
所以a=2；
（2）如图1：

y=-x²+2x+5的对称轴为：x=1，
设点B（1，b），点C（x，-x²+2x+5），
分别过点A，C作平行于y轴的直线，过点B作平行于x轴的直线，交点为G，F，可知∠AGB=∠CFB=∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠BCF，
∵AB=BC，
在△ABG和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGB=∠CFB}\\{∠ABG=BCF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$
∴△ABG≌△BCF（AAS），
∴AG=BF，BG=CF，
由AG=2-b，BF=1-x，CF=b-（-x²+2x+5），BG=2，
∴2-b=1-x，
b-（-x²+2x+5）=2，
解得：b=-1，x=-2，
y=-x²+2x+5=-3，
所以点C（-2，-3）；

（3）如图2：

过点A作y轴的平行线，在此线上取点M，N，使tan∠EMA=$\frac{1}{2}$，tan∠DNA=$\frac{1}{2}$，
易证△EMA∽△AND，
∴$\frac{ME}{AM}=\frac{AN}{ND}$，
设点E（2，m）
可求：AM=4+m，ME=$3\sqrt{5}$，AN=$\frac{27}{4}-\frac{3}{4}m$，DN=$2\sqrt{5}$，
代入$\frac{ME}{AM}=\frac{AN}{ND}$，解得：m=1或m=4，
所以点E（2，1）或点E（2，4）．

点评 此题主要考查二次函数的综合问题，会根据已知找到全等三角形，运用线段相等和相似建立等量关系，设出点的坐标建立方程并准确求解是解题的关键．