Question

2．如图，四边形ABCO是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动；同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DO向点O运动，运动到点O停止，点Q与点P同时停止．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△BCM以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；
（3）当Q运动时间t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？

Answer 1

分析 （1）根据AB、OB的长，即可得到A、B点的坐标；由于四边形ABCO是平行四边形，则AB=OC，由此可求出OC的长，即可得到C点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可求出D点的坐标及抛物线的对称轴方程，使得△BCM以BC为腰的等腰三角形，则BC=BM，进而可求出点M的坐标；
（3）由于∠PBO、∠QOB都是直角，对应相等，若以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，则有两种情况：①P、Q在y轴同侧，②P、Q在y轴两侧；每种情况又分为△PBO∽△QOB（此时两者全等），△PBO∽△BOQ两种情况；根据不同的相似三角形所得到的不同的比例线段即可求出t的值．

解答 解：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=AB=4．
∴A（4，2），B（0，2），C（-4，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c过点B，
∴c=2．
由题意，有$\left\{\begin{array}{l}16a-4b+2=0\\ 16a+4b+2=2.\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{16}\\ b=\frac{1}{4}.\end{array}\right.$，
∴所求抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{16}{x^2}+\frac{1}{4}x+2$；
（2）在抛物线的对称轴上存在点M，使得△BCM以BC为腰的等腰三角形，理由如下：
设抛物线的对称轴与AB交于点E，将抛物线的解析式配方，得$y=-\frac{1}{16}{（{x-2}）^2}+2\frac{1}{4}$．
∴抛物线的对称轴为x=2，
若使得△BCM以BC为腰的等腰三角形，则△OBC≌△EBM，
所以M的坐标为（2，6），（2，-2）；
（3）若使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，
∴有$\frac{BP}{OB}=\frac{OQ}{BO}$或$\frac{BP}{OB}=\frac{BO}{OQ}$，
即PB=OQ或OB²=PB•QO．
①若P、Q在y轴的同侧．如图1

当PB=OQ时，t=8-3t，
∴t=2．
当OB²=PB•QO时，t（8-3t）=4，即3t²-8t+4=0．
解得${t_1}=2，{t_2}=\frac{2}{3}$．
②当P、Q在y轴的两侧；如图2

当PB=OQ时，Q、C重合，P、A重合，此时t=4；
当OB²=PB•QO时，t（3t-8）=4，
即3t²-8t-4=0，
解得t=$\frac{4±2\sqrt{7}}{3}$；
∵t=$\frac{4-2\sqrt{7}}{3}$＜0，故舍去；
∴t=$\frac{4+2\sqrt{7}}{3}$；
∴当t=2或t=$\frac{2}{3}$，t=4或t=$\frac{4+2\sqrt{7}}{3}$秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似．

点评 本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质和等腰三角形的性质的运用，相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质的运用及数学分类思想的运用．