Question

17．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是（　　）

• A． 0＜AD＜3
• B． 1≤AD＜$\frac{5}{2}$
• C． $\frac{15}{7}$≤AD＜$\frac{5}{2}$
• D． $\frac{15}{8}$≤AD＜$\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 首先由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，可求得AB的长，然后根据题意画出图形，分别从当⊙D与BC相切时与当⊙D与BC相交时，去分析求解即可求得答案．

解答 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
以D为圆心，AD的长为半径画⊙D，
①如图1，当⊙D与BC相切时，DE⊥BC时，
设AD=x，则DE=AD=x，BD=AB-AD=5-x，
∵∠BED=∠C=90°，∠B是公共角，
∴△BDE∽△BAC，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{DE}{AC}$，
即$\frac{5-x}{5}=\frac{x}{3}$，
解得：x=$\frac{15}{8}$；
②如图2，当⊙D与BC相交时，若交点为B或C，则AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∴AD的取值范围是$\frac{15}{8}$≤AD＜$\frac{5}{2}$．
故选D．

点评 此题考查了点与圆的位置关系、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．