Question

5．问题情境：我们知道，两边及其中一边所对的角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，这样的两个三角形才全等呢？为了研究这个问题，我们先思考下面几个问题：
（1）已知：线段a、b和∠a，作△ABC，使得∠A=∠a，AC=b，BC=a．
在图中的方框内完成作图，并在下列横线上填上适当的文字．
作法：①∠MAN=∠a；
②在射线AM上截取线段AC=b；
③以C为圆心、a长为半径画弧交射线AN于点B；
④连接CB，则△ACB就是所求作的三角形．
（2）计算：在上述△ABC中，若∠α=30°，a=5，b=8，则三角形第三边的长度为多少？
（3）在上述作图和计算中，我们发现满足条件的△ABC不唯一，即两边及其中一边所对的角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么再增加什么条件，便可判定两个三角形全等．

Answer 1

分析 （1）根据作图要求结合画图过程作图即可，作出的B点位置不是一个；
（2）过C作CD⊥AN，利用直角三角形的性质可得CD长，再根据勾股定理计算出AD长和BD长，即可得答案；
（3）添加三角形的形状要求，便可作出唯一的三角形．

解答 解：（1）作法：①∠MAN=∠a；
②在射线AM上截取线段AC=b；
③以C为圆心、a长为半径画弧交射线AN于点B；
④连接BC，则△ACB就是所求作的三角形．

（2）过C作CD⊥AN，
∵∠α=30°，b=8，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{64-16}$=4$\sqrt{3}$，
∵a=5，
∴CB=5，
∴BD=$\sqrt{C{B}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{25-16}$=3，
∴AB=4$\sqrt{3}$+3或4$\sqrt{3}$-3；

（3）再增加三角形为锐角三角形，或三角形为直角三角形，或添加三角形为钝角三角形的条件，三角形的形状便可以确定，便可判定两个三角形全等．

点评 此题主要考查了复杂作图，以及勾股定理的应用，关键是正确根据作图要求画出图形，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．