Question

7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的三个顶点分别是A（4，0），B（4，3），C（0，3）．动点P从原点O出发，沿对角线OB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，同时另一动点Q从点A出发，沿线段AO以每秒$\frac{4}{5}$个单位长的速度向点O匀速运动，过P作PH⊥OA于点H，连接PQ、QB．当动点P到达终点B时，动点Q也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．

（1）点P的坐标是（$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t）；
（2）在动点P、Q运动的过程中，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△BAQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形OABC的三个顶点分别是A（4，0），B（4，3），C（0，3），可求得OA与AB的长，易证得△OPH∽△OBA，然后由相似三角形的对应边成比例，可求得点P的坐标；
（2）分别从点H在点Q的左侧与右侧去分析，再由△PHQ∽△BAQ或△PHQ∽△BQA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答 解：（1）根据题意得：OP=t，AQ=$\frac{4}{5}$t，
∵矩形OABC的三个顶点分别是A（4，0），B（4，3），C（0，3），
∴OA=4，AB=3，BA⊥OA，
∴OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=5，
∵PH⊥OA，
∴PH∥AB，
∴△OPH∽△OBA，
∴$\frac{OH}{OA}=\frac{PH}{AB}=\frac{OP}{OB}$，
∴$\frac{OH}{4}=\frac{PH}{3}=\frac{t}{5}$，
∴OH=$\frac{4}{5}$t，PH=$\frac{3}{5}$t，
∴点P的坐标为：（$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t）；
故答案为：$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t；

（2）存在．
如图（1），点H在Q的左边时；
∵OH=$\frac{4}{5}$t，AQ=$\frac{4}{5}$t，
∴QH=OA-OH-AQ=4-$\frac{8}{5}$t，
①当△PHQ∽△BAQ时，$\frac{PH}{AB}=\frac{QH}{AQ}$，
即$\frac{\frac{3}{5}t}{3}=\frac{4-\frac{8}{5}t}{\frac{4}{5}t}$，
解得：t=5$\sqrt{2}$-5；
②当△PHQ∽△BQA时，$\frac{PH}{AQ}=\frac{QH}{AB}$，
即$\frac{\frac{3}{5}t}{\frac{4}{5}t}=\frac{4-\frac{8}{5}t}{3}$，
解得：t=$\frac{35}{32}$；
如图（2），当点H在点Q右侧时；
∵OH=$\frac{4}{5}$t，AQ=$\frac{4}{5}$t，
∴QH=OH+AQ-OA=$\frac{8}{5}$t-4，
③当△PHQ∽△BAQ时，$\frac{PH}{AB}=\frac{QH}{AQ}$，
即$\frac{\frac{3}{5}t}{3}=\frac{\frac{8}{5}t-4}{\frac{4}{5}t}$，
解得：t=5；
④当△PHQ∽△BQA时，$\frac{PH}{AQ}=\frac{QH}{AB}$，
即$\frac{\frac{3}{5}t}{\frac{4}{5}t}=\frac{\frac{8}{5}t-4}{3}$，
解得：t=$\frac{125}{32}$；
综上所述：当t=5$\sqrt{2}$-5或t=$\frac{35}{32}$或t=5或t=$\frac{125}{32}$时，以P、H、Q为顶点的三角形与△BAQ相似．

点评 此题属于相似三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及点与坐标的关系．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键，注意掌握分类讨论思想的应用．