Question

3．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）当t为何值时，△QAP是等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积；
（3）当t为何值时，△PCQ的面积是31cm²？

Answer 1

分析 （1）根据题意得到AP=2t，DQ=t，根据等腰直角三角形的性质列出方程，解方程即可；
（2）根据四边形QAPC的面积=四边形ABCD的面积-△CDQ的面积-△PBC的面积计算；
（3）用t表示出△PCQ的面积，根据题意列出一元二次方程，解方程即可．

解答 解：（1）由题意得，AP=2t，DQ=t，
则PB=12-2t，AQ=6-t，
△QAP是等腰直角三角形，
则AQ=AP，即6-t=2t，
解得，t=2，
答：当t=2时，△QAP是等腰直角三角形；
（2）四边形QAPC的面积=四边形ABCD的面积-△CDQ的面积-△PBC的面积
=12×6-$\frac{1}{2}$×12×t-$\frac{1}{2}$×6×（12-2t）
=36；
（3）△PCQ的面积=四边形QAPC的面积-△QAP的面积
=36-$\frac{1}{2}$×2t×（6-t）
=36-6t+t²，
当△PCQ的面积是31cm²时，36-6t+t²=31，
解得，t₁=1，t₂=5，
则当t=1或5时，△PCQ的面积是31cm²．

点评 本题考查的是矩形的性质、等腰直角三角形的性质以及一元二次方程的解法，根据题意正确表示出线段AP、DQ的长度、灵活运用相关的性质定理列出关系式是解题的关键．