Question

18．已知抛物线G₁：y=ax²+bx+c的顶点为（2，-3），且经过点（4，1）．
（1）求抛物线G₁的解析式；
（2）将抛物线G₁先向左平移3个单位，再向下平移1个单位后得到抛物线G₂，且抛物线G₂与x轴的负半轴相交于A点，求A点的坐标；
（3）如果直线m的解析式为${y_{\;}}=\frac{1}{2}x+3$，点B是（2）中抛物线G₂上的一个点，且在对称轴右侧部分（含顶点）上运动，直线n过点A和点B．问：是否存在点B，使直线m、n、x轴围成的三角形和直线m、n、y轴围成的三角形相似？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先设为顶点式，再把顶点坐标和经过的点（4，1）代入即可解决，
（2）根据平移规则直接写出抛物线G₂的解析式，令y=0，即可求出点A的坐标，
（3）分为交点咋x轴上方，与下方进行分析，根据相似确定角的大小，进一步得到直线n的斜率，求出与y轴的交点坐标，由点A（-3，0），运用待定系数法，确定直线n的解析式，联立抛物线G₂，解方程组即可求解．

解答 解：由抛物线G₁：y=ax²+bx+c的顶点为（2，-3），且经过点（4，1），
可设抛物线G₁：y=a（x-2）²-3，
把（4，1）代入得：1=4a-3，解得：a=1，
所以抛物线G₁：y=（x-2）²-3=x²-4x+1，
（2）抛物线G₁：y=（x-2）²-3先向左平移3个单位，再向下平移1个单位后得到抛物线G₂：y=（x+1）²-4，
令y=0，得：0=（x+1）²-4，解得：x=-3，或x=1（舍去），
所以点A（-3，0）．
（3）
直线m与x轴，y轴的交点分别为F，E，
当直线n与G₂交点在x轴上方时，直线n与x轴，y轴的交点为A，D，与抛物线交点B，与直线m交与点C，
当直线n与G₂交点在x轴下方时，直线n₁与x轴，y轴的交点为A，H，与抛物线交点B₁，与直线m交与点L，
当直线n与G₂交点在x轴上方时，如图1：

由题意△CDE∽△CFA，此时有：∠CDE=∠CFA，
直线m的解析式为${y_{\;}}=\frac{1}{2}x+3$，当x=0时，y=3，当y=0时，x=-6，
∴点E（0，3），点F（-6，0），
∴OF=6，OE=3，
∴tan∠CDE=tan∠CFA=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∵OA=3，
∴OD=6，
点D（0，6），
设直线n：y=mx+n，把D（0，6），点A（-3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6=n}\\{0=-3m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直线n：y=2x+6，
联立直线n和抛物线G₂得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+6}\\{y=（x+1）^{2}-4}\end{array}\right.$，
解得：x=3，或x=-3（舍去）
此时y=12，
所以：点B（3，12），
当直线n与G₂交点在x轴下方时，如图2：

由题意△HLE∽△FLA，此时有：∠ELH=∠FLA=90°，
∠EHA=∠LFA，
直线m的解析式为${y_{\;}}=\frac{1}{2}x+3$，当x=0时，y=3，当y=0时，x=-6，
∴点E（0，3），点F（-6，0），
∴OF=6，OE=3，
∴tan∠EHA=tan∠LFA=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OA}{OH}$=$\frac{1}{2}$，
∵OA=3，
∴OH=6，
点H（0，-6），
设直线n：y=mx+n，把D（0，-6），点A（-3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-6=n}\\{0=-3m+n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
∴直线n：y=-2x-6，
联立直线n和抛物线G₂得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-6}\\{y=（x+1）^{2}-4}\end{array}\right.$，
解得：x=-1，或x=-3（舍去）
此时y=-4，
所以：点B₁（-1，-4），
综上所述：存在点B，使直线m、n、x轴围成的三角形和直线m、n、y轴围成的三角形相似，点B的坐标为（3，12）和（-1，-4）．

点评 此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式，会根据相似判断出相等的对应角，并会根据三角函数求出线段的值进一步表示点的坐标，是解题的关键．