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【题目】如图1,抛物线yax2+bx3经过点ABC,已知点A(﹣10),点B30

1)求抛物线的解析式

2)点D为抛物线的顶点,DEx轴于点E,点N是线段DE上一动点

①当点N在何处时,△CAN的周长最小?

②若点Mm0)是x轴上一个动点,且∠MNC90°,求m的取值范围.

【答案】1yx22x3;(2)①N1,﹣2);②﹣≤m≤5

【解析】

1)函数的表达式为:y=ax+1)(x3=ax22x3),即可求解;

2)①过点Cx轴的平行线交抛物线于点C'2,﹣3),连接AC'DE于点N,则此时△CAN的周长最小,即可求解;

②如图2ME=n2+3n,求出ME最大值,则可求出m的最小值;当点N与点D处时,m取得最大值,求解即可.

1)函数的表达式为:y=ax+1)(x3=ax22x3),故﹣3a=3,解得:a=1,故函数的表达式为:y=x22x3

2)①过点Cx轴的平行线交抛物线于点C'2,﹣3),连接AC'DE于点N,则此时△CAN的周长最小.

设过点AC'的一次函数表达式为y=kx+b,则:,解得:,故直线AC'的表达式为:y=x1,当x=1时,y=2,故点N1,﹣2);

②如图2,过点CCGED于点G

NG=n,则NE=3n

∵∠CNG+GCN=90°,∠CNG+MNE=90°,∴∠NCG=MNE,则tanNCG=n=tanMNE,故ME=n2+3n,∴﹣10,故ME有最大值,当n时,ME,则m的最小值为:

如下图所示,当点N与点D重合时,m取得最大值.

CCGEDG

y=x22x3= y=x124,∴D1,-4),∴CG=OE=1

EG=OC=3GD=43=1,∴CG=DG=1,∴∠CDG=45°.

∵∠CDM=90°,∴∠EDM=45°,∴△EDM是等腰直角三角形,∴EM=ED=4,∴OM=OE+EM=1+4=5,∴m=5

故:m5

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≥2.

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