【题目】已知抛物线y=ax2经过点A(2,1).
(1)求这个函数的解析式;
(2)画出函数的图像,写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B 的坐标;
(3)抛物线上是否存在点C,使△ABC的面积等于△OAB面积的一半,若存在,求出C点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2;(2)B的坐标为(-2,1);(3)C(,)或(,)或(,)或(,),使△ABC的面积等于△OAB面积的一半,见解析.
【解析】
(1)把点A的坐标代入抛物线解析式求解即可得到a的值,从而得解;
(2)根据关于y轴对称的点的坐标,横坐标互为相反数,纵坐标相同解答;
(3)根据三角形的面积公式求出点C到AB的距离,再分①点C在AB下面,②点C在AB的上面两种情况求出点C的纵坐标,然后代入抛物线解析式求出横坐标,即可得到点C的坐标.
解:(1))∵抛物线y=ax2经过点A(2,1),
∴4a=1,解得a=,
∴这个函数的解析式为y=x2;
(2)∵点A(2,1),关于y轴对称的点的坐标,横坐标互为相反数,纵坐标相同,
∴点A关于y轴的对称点B的坐标为(-2,1);
(3)如图:
∵点A(2,1),B(-2,1),
∴AB=2-(-2)=2+2=4,S△OAB=×4×1=2,
假设存在点C,且点C到AB的距离为h,
则S△ABC=ABh=×4h,
∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半,
∴×4h=×2,解得h=,
①当点C在AB下面时,点C的纵坐标为,
此时,解得,,
则此时C的坐标为(,)或(,),
②点C在AB的上面时,点C的纵坐标为,
此时,解得,,
则此时C的坐标为(,)或(,),
综上,存在点C(,)或(,)或(,)或(,),使△ABC的面积等于△OAB面积的一半.
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【题目】如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1,边B1C1与CD交于点O,则四边形AB1OD的面积是(____)
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【题目】如图1,抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A,B,C,已知点A(﹣1,0),点B(3,0)
(1)求抛物线的解析式
(2)点D为抛物线的顶点,DE⊥x轴于点E,点N是线段DE上一动点
①当点N在何处时,△CAN的周长最小?
②若点M(m,0)是x轴上一个动点,且∠MNC=90°,求m的取值范围.
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【题目】在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(它们除颜色外都相同),现随机从中摸出10枚记下颜色后放回,这样连续做了10次,记录了如下的数据:
根据以上数据,估算袋中的白棋子数量为( )
A. 60枚B. 50枚C. 40枚D. 30枚
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【题目】如图,正方形BEFG的边BG在正方形ABCD的边BC上,连结AG,EC.
(1)说出AG与CE的大小关系;
(2)图中是否存在通过旋转能够相互重合的两个三角形?若存在,请详细写出旋转过程;若不存在,请说明理由.
(3)请你延长AG交CE于点M,判断AM与CE的位置关系?并说明理由.
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【题目】已知抛物线p: 的顶点为C,与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧),点C关于x轴的对称点为C′,我们称以A为顶点且过点C′,对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线,直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是和y=2x+2,则这条抛物线的解析式为____________________.
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【题目】如图1,在△ABC中,在BC边上取一点P,在AC边上取一点D,连AP、PD,如果△APD是等腰三角形且△ABP与△CDP相似,我们称△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”.
(1)如图2,在△ABC中AB=AC,∠B=50°,△APD是AB边上的“等腰邻相似三角形”,且AD=DP,∠PAC=∠BPD,则∠PAC的度数是___;
(2)如图3,在△ABC中,∠A=2∠C,在AC边上至少存在一个“等腰邻相似△APD”,请画出一个AC边上的“等腰邻相似△APD”,并说明理由;
(3)如图4,在Rt△ABC中AB=AC=2,△APD是AB边上的“等腰邻相似三角形”,请写出AD长度的所有可能值.
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【题目】如图,直线的解析式是,直线的解析式是,点在上,的横坐标为,作交于点,点在上,以,为邻边在直线,间作菱形,分别以点,为圆心,以为半径画弧得扇形和扇形,记扇形与扇形重叠部分的面积为;延长交于点,点在上,以,为邻边在,间作菱形,分别以点,为圆心,以为半径画弧得扇形和扇形,记扇形与扇形重叠部分的面积为按照此规律继续作下去,则__.(用含有正整数的式子表示)
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【题目】如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.
(1)求证:AE=CF;
(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.
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