Question

【题目】已知一次函数y=﹣x+1与抛物线y=x2+bx+c交于A（0，1），B两点，B点纵坐标为10，抛物线的顶点为C．

（1）求b，c的值；

（2）判断△ABC的形状并说明理由；

（3）点D、E分别为线段AB、BC上任意一点，连接CD，取CD的中点F，连接AF，EF．当四边形ADEF为平行四边形时，求平行四边形ADEF的周长．

Answer 1

【答案】（1）b=2；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3）平行四边形ADEF周长为6+6．

【解析】

（1）把A坐标代入抛物线解析式可求出c的值，把B的纵坐标代入直线解析式可求出其横坐标，再代入抛物线解析式即可求出b的值；

（2）△ABC的形状是直角三角形，分别作BG垂直于y轴，CH垂直于y轴，依次求∠BAG=45°，∠CAH=45°，进而得到∠CAB=90°；

（3）首先利用勾股定理易求AB的长，进而得到AC的长，利用三角形中位线的性质即可求出EF的长，再利用勾股定理即可求出AF的长，继而求出平行四边形ADEF的周长．

（1）把A（0，1），代入y=x2+bx+c，

解得c=1，

将y=10代入y=﹣x+1，得x=﹣9，

∴B点坐标为（﹣9，10），

将B （﹣9，10），代入y=x2+bx+c

得b=2；

（2）△ABC是直角三角形，

理由如下：

∵y=x2+2x+1=（x+3）2﹣2，

∴点C的坐标为（﹣3，﹣2），

分别作BG垂直于y轴，CH垂直于y轴

∵BG=AG=9，

∴∠BAG=45°，

同理∠CAH=45°，

∴∠CAB=90°

∴△ABC是直角三角形；

（3）∵BG=AG=9，

∴AB=9，

∵CH=AH=3，

∴AC=3，

∵四边形ADEF为平行四边形，

∴AD∥EF，

又∵F为CD中点，

∴CE=BE，

即EF为△DBC的中位线，EF

∴EF=AD=BD，

∵AB=9，

∴EF=AD=3

在Rt△ACD中，AD=3，AC=3，

∴CD=6，

∴AF=3，

∴平行四边形ADEF周长为6+6．