Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=5,E、P分别在AD.BC上，且DE=BP=1.连接BE,EC,AP,DP,PD与CE交于点F,AP与BE交于点H．

(1)判断△BEC的形状，并说明理由；

(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形，并证明你的判断；

(3)求四边形EFPH的面积．

Answer 1

【答案】（1）△BEC为直角三角形，理由见解析；（2）四边形EFPH是矩形，理由见解析；（3）

【解析】

（1）根据矩形的性质可得∠BAE=∠CDE=90°，AB=CD=2，AD=BC=5，然后利用勾股定理即可求出BE和CE，然后根据勾股定理的逆定理即可证出△BEC为直角三角形；

（2）根据矩形的性质可得AD∥BC， AD=BC=5，然后根据平行四边形的判定定理可得四边形EBPD和四边形APCE均为平行四边形，从而证出四边形EFPH是平行四边形，然后根据矩形的定义即可得出结论；

（3）先利用三角形面积的两种求法，即可求出BH，从而求出HE，然后根据勾股定理即可求出HP，然后根据矩形的面积公式计算即可．

解：（1）△BEC为直角三角形，理由如下

∵四边形ABCD为矩形

∴∠BAE=∠CDE=90°，AB=CD=2，AD=BC=5

∵DE=1

∴AE=AD－DE=4

在Rt△ABE中，BE=

在Rt△CDE中CE=

∴BE2＋CE2=25= BC2

∴△BEC为直角三角形

（2）四边形EFPH是矩形，理由如下

∵四边形ABCD为矩形

∴AD∥BC， AD=BC=5

∵DE=BP=1，

∴AD－DE=BC－BP=4

即AE=CP=4

∴四边形EBPD和四边形APCE均为平行四边形

∴EB∥DP，AP∥EC

∴四边形EFPH是平行四边形

∵△BEC为直角三角形，∠BEC=90°

∴四边形EFPH是矩形

（3）∵四边形APCE为平行四边形，四边形EFPH是矩形

∴AP=CE=，∠EHP=90°

∴∠BHP=180°－∠EHP=90°

∵S△ABP=

∴

解得：

∴HE=BE－BH=

在Rt△BHP中，HP =

∴S矩形EFPH= HP·HE=