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【题目】已知抛物线的解析式yax2+bx+3x轴交于AB两点,点B的坐标为(﹣10)抛物线与y轴正半轴交于点CABC面积为6

1)如图1,求此抛物线的解析式;

2P为第一象限抛物线上一动点,过PPGAC,垂足为点G,设点P的横坐标为t,线段PG的长为d,求dt之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围;

3)如图2,在(2)的条件下,过点BCP的平行线交y轴上一点F,连接AF,在BF的延长线上取点E,连接PE,若PEAF,∠AFE+BEP180°,求点P的坐标.

【答案】1y=﹣x2+2x+3;(20t3;(3P()

【解析】

1)根据条件易求出AB两点的坐标,再利用待定系数法求解即可;

2)作PDx轴交AC于点E,如图3,易知∠A45°,然后利用三角形的内角和可得:∠P=∠A,则,再利用待定系数法求出直线AC的解析式,而点P的横坐标已知,则可用含t的代数式表示出PE,问题即得解决;

3)如图4,过点PPNBEBE于点N,过点CCHBE于点H,过点AAGBE于点G,设BEAC交于点M,根据AAS可证明△PEN≌△AFG,可得PNAG,然后再根据AAS证明△CHM≌△AGM,可得CMAM,于是由中点坐标公式可求得点M的坐标,再根据待定系数法可求得直线BM的解析式,进而求出直线CP的解析式,然后解由直线CP和抛物线的解析式组成的方程组即可求出点P的坐标.

解:(1)当x0时,y3,∴C03),∴OC3

B(﹣10),∴OB1,∴,解得:AB4

OAABOB3,∴A30),

AB的坐标代入抛物线的解析式yax2+bx+3,得:,解得;

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3

2)作PDx轴交AC于点E,如图3

OAOC=3,∴∠A45°

∵∠PEG=∠AED,∠PGE=∠EDA90°,∴∠P=∠A45°

,∴

设直线AC的解析式为:ykx+b,把A30),C03)两点代入,得:,解得:

∴直线ACy=﹣x+3

Pt,﹣t2+2t+3),∵PDx轴,∴Et,﹣t+3),

PE=﹣t2+2t+3+t3=﹣t2+3t,∴

P为第一象限抛物线上一动点,∴0t3

0t3

3)如图4,过点PPNBEBE于点N,过点CCHBE于点H,过点AAGBE于点G,设BEAC交于点M

∵∠BEP+PEN180°,∠AFE+BEP180°,∴∠PEN=∠AFG

∵∠PNE=∠AGF90°PEAF

∴△PEN≌△AFGAAS),∴PNAG

CPBE,∴四边形CPNH是矩形,∴PNCHAG

∵∠CMH=∠AMG,∠CHM=∠AGM

∴△CHM≌△AGMAAS),∴CMAM,∴M),

则可得过点B(-10)和点M)两点的直线解析式为:y=

CPBM,∴直线CP的解析式为y=

解方程组:,得:

P).

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作法:如图2

①分别以AC为圆心,大于

为半径作弧,两弧分别交于点DE

作直线DE,交AC于点F

以点F为圆心,FA长为半径作圆,交AB的延长线于点M

连接CM

CM 为所求AB边上的高线.

根据上述作图过程,回答问题:

1)用直尺和圆规,补全图2中的图形;

2)完成下面的证明:

证明:连接DADCEAEC

∵由作图可知DA=DC =EA=EC

DE是线段AC的垂直平分线.

FA=FC

AC是⊙F的直径.

∴∠AMC=______°___________________________________)(填依据),

CMAB

CM就是AB边上的高线.

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