Question

【题目】已知抛物线的图象如图所示：

（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为　　．

（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形；（3）存在，、、．

【解析】

（1）根据函数图象的平移规律，可得新的函数解析式；

（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B，C的坐标，根据勾股定理及逆定理，可得答案；

（3）根据等腰三角形的定义，分三种情况，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．

（1）将该抛物线向上平移2个单位，得：yx2x+2．

故答案为：yx2x+2；

（2）当y=0时，x2x+2=0，解得：x1=﹣4，x2=1，即B（﹣4，0），A（1，0）．

当x=0时，y=2，即C（0，2）．

AB=1﹣（﹣4）=5，AB2=25，AC2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2=20．

∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；

（3）yx2x+2的对称轴是x，设P（，n），AP2=（1）2+n2n2，CP2（2﹣n）2，AC2=12+22=5.分三种情况讨论：

①当AP=AC时，AP2=AC2，n2=5，方程无解；

②当AP=CP时，AP2=CP2，n2（2﹣n）2，解得：n=0，即P1（，0）；

③当AC=CP时，AC2=CP2，（2﹣n）2=5，解得：n1=2，n2=2，P2（，2），P3（，2）．

综上所述：在抛物线对称轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标（，0），（，2），（，2）．