Question

【题目】如图，抛物线与轴交于， （在的左侧），与轴交于点，抛物线上的点的横坐标为3，过点作直线轴．

（1）点为抛物线上的动点，且在直线的下方，点，分别为轴，直线上的动点，且轴，当面积最大时，求的最小值；

（2）过（1）中的点作，垂足为，且直线与轴交于点，把绕顶点旋转45°，得到，再把沿直线平移至，在平面上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2），，，

【解析】

（1）根据题意求得点、、、的坐标，进而求得直线和直线解析式．过点作轴垂线交于点，设点横坐标为，即能用表示、的坐标进而表示的长．由得到关于的二次函数，即求得为何值时面积最大，求得此时点坐标．把点向上平移的长，易证四边形是平行四边形，故有．在直线的上方以为斜边作等腰，则有．所以，其中的长为定值，易得当点、、在同一直线上时，线段和的值最小．又点是动点，，由垂线段最短可知过点作的垂线段时，最短．求直线、解析式，联立方程组即求得点坐标，进而求得的长．

（2）先求得，，的坐标，可得是等腰直角三角形，当绕逆时针旋转再沿直线平移可得△，根据以，，，为顶点的四边形为菱形，可得，，，，即可求得的坐标，当绕顺时针旋转再沿直线平移可得△，根据以，，，为顶点的四边形为菱形，可得，，即可求得的坐标．

解：（1）如图1，过点作轴于点，交于点，在上截取，连接，

以为斜边在直线上方作等腰，过点作于点

时，

时，

解得：，

，

直线解析式为

抛物线上的点的横坐标为3

，直线

点在轴上，点在直线上，轴

设抛物线上的点，

当时，最大

，

，

，

四边形是平行四边形

等腰中，为斜边

，

当点、、在同一直线上时，最小

设直线解析式为

解得：

直线

设直线解析式为

解得：

直线

解得：

，

最小值为

（2），，

直线解析式为：，

，，

，，是等腰直角三角形，

如图2，把绕顶点逆时针旋转，得到△，，，

把△沿直线平移至△，连接，

则直线解析式为，直线解析式为，显然

以，，，为顶点的四边形为菱形，不可能为边，只能以、为邻边构成菱形

，

，

，，

如图3，把绕顶点顺时针旋转