【题目】如图,抛物线与
轴交于
,
(
在
的左侧),与
轴交于点
,抛物线上的点
的横坐标为3,过点
作直线
轴.
(1)点为抛物线上的动点,且在直线
的下方,点
,
分别为
轴,直线
上的动点,且
轴,当
面积最大时,求
的最小值;
(2)过(1)中的点作
,垂足为
,且直线
与
轴交于点
,把
绕顶点
旋转45°,得到
,再把
沿直线
平移至
,在平面上是否存在点
,使得以
,
,
,
为顶点的四边形为菱形?若存在直接写出点
的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1) (2)
,
,
,
【解析】
(1)根据题意求得点、
、
、
的坐标,进而求得直线
和直线
解析式.过点
作
轴垂线
交
于点
,设点
横坐标为
,即能用
表示
、
的坐标进而表示
的长.由
得到关于
的二次函数,即求得
为何值时
面积最大,求得此时点
坐标.把点
向上平移
的长,易证四边形
是平行四边形,故有
.在直线
的上方以
为斜边作等腰
,则有
.所以
,其中
的长为定值,易得当点
、
、
在同一直线上时,线段和的值最小.又点
是动点,
,由垂线段最短可知过点
作
的垂线段
时,
最短.求直线
、
解析式,联立方程组即求得点
坐标,进而求得
的长.
(2)先求得,
,
的坐标,可得
是等腰直角三角形,当
绕
逆时针旋转
再沿直线
平移可得△
,根据以
,
,
,
为顶点的四边形为菱形,可得
,
,
,
,即可求得
的坐标,当
绕
顺时针旋转
再沿直线
平移可得△
,根据以
,
,
,
为顶点的四边形为菱形,可得
,
,即可求得
的坐标.
解:(1)如图1,过点作
轴于点
,交
于点
,在
上截取
,连接
,
以为斜边在直线
上方作等腰
,过点
作
于点
时,
时,
解得:,
,
直线
解析式为
抛物线上的点
的横坐标为3
,直线
点
在
轴上,点
在直线
上,
轴
设抛物线上的点,
当
时,
最大
,
,
,
四边形
是平行四边形
等腰
中,
为斜边
,
当点
、
、
在同一直线上时,
最小
设直线解析式为
解得:
直线
设直线解析式为
解得:
直线
解得:
,
最小值为
(2),
,
直线
解析式为:
,
,
,
,
,
是等腰直角三角形,
如图2,把绕顶点
逆时针旋转
,得到△
,
,
,
把△沿直线
平移至△
,连接
,
则直线解析式为
,直线
解析式为
,显然
以
,
,
,
为顶点的四边形为菱形,
不可能为边,只能以
、
为邻边构成菱形
,
,
,
,
如图3,把绕顶点
顺时针旋转
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【题目】为做好食堂的服务工作,某学校食堂对学生最喜爱的菜肴进行了抽样调查,下面试根据收集的数据绘制的统计图(不完整):
(1)参加抽样调查的学生数是______人,扇形统计图中“大排”部分的圆心角是______°;
(2)把条形统计图补充完整;
(3)若全校有3000名学生,请你根据以上数据估计最喜爱“烤肠”的学生人数.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点D是△ABC内一点,AD=BD,且AD⊥BD,连接CD.过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点 E,连接BE.过点D作DF⊥CD交BC于点F.
(1)若BD=DE= ,CE=
,求BC的长;
(2)若BD=DE,求证:BF=CF.
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【题目】如图,反比例函数y1=与一次函数y2=mx+n相交于A(﹣1,2),B(4,a)两点,AE⊥y轴于点E,则:
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)若y1≤y2则直接写出x的取值范围;
(3)若M为反比例函数上第四象限内的一个动点,若满足S△ABM=S△AOB,则求点M的坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC上,且BE=BD,连接AE、DE、DC.若∠CAE=30°,则∠BDC=_____.
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【题目】某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动,如图,在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°,然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=1:2.4,那么大树CD的高度约为(参考数据:sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)( )
A.8.1米
B.17.2米
C.19.7米
D.25.5米
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线BE交CD于点E,∠ADC的平分线DF交AB于点F.
(1)若AD=4,AB=6,求BF的长.
(2)求证:四边形DEBF是平行四边形.
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【题目】如图,小彬和爸爸一起去车站接从外地学习回来的妈妈,在去的过程中,小彬坐在汽车上看着时速表,用所学知识绘制了一张反映小车速度与时间的关系图,请你根据图象回答以下问题:
(1)在上述过程中,自变量是什么?因变量是什么?
(2)小车共行驶了多少时间?最高时速是多少?
(3)汽车在哪段时间保持匀速运动?速度是多少?
(4)汽车在哪段时间内速度在增加?哪段时间内速度在减少?
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【题目】如图,线段AB=6cm,动点P以2cm/s的速度从A﹣B﹣A在线段AB上运动,到达点A后,停止运动;动点Q以1cm/s的速度从B﹣A在线段AB上运动,到达点A后,停止运动.若动点P,Q同时出发,设点Q的运动时间是t(单位:s)时,两个动点之间的距离为S(单位:cm),则能表示S与t的函数关系的是( )
A.B.
C.D.
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