Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，点D是△ABC内一点，AD=BD，且AD⊥BD，连接CD．过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点 E，连接BE．过点D作DF⊥CD交BC于点F．

（1）若BD=DE= ，CE= ，求BC的长；
（2）若BD=DE，求证：BF=CF．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BD⊥AD，点E在AD的延长线上，

∴∠BDE=90°，

∵BD=DE= ，

∴BE= = ，

∵BC⊥CE，

∴∠BCE=90°，

∴BC= = =2

（2）解：连接AF，

∵CD⊥BD，DF⊥CD，

∴∠BDE=∠CDF=90°，

∴∠BDF=∠CDE，

∵CE⊥BC，

∴∠BCE=90°，

∴∠DBC=∠CED，

在△BDF和△EDC中，

∵ ，

∴△BDF≌△EDC（ASA），

∴DF=CD，

∴∠CFD=∠DCF=45°，

∵∠ADB=∠CDF，

∴∠ADB+∠BDF=∠CDF+∠BDF，

∴∠ADF=∠BDC，

在△ADF和△BDC中，

∵ ，

∴△ADF≌△BDC（SAS），

∴∠AFD=∠BCD，

∴∠AFD=45°，

∴∠AFC=∠AFD+∠CFD=90°，

∴AF⊥BC，

∴AB=AC，

∴BF=CF

【解析】利用勾股定理可求出BE，进而求出BC；（2）要证线段相等，可证△BDF≌△EDC，为△ADF≌△BDC准备条件，证出BF=CF.