Question

1．已知点O是四边形ABCD内一点，AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=α．
（1）如图1，α=60°，探究线段AD与OB的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，α=120°，探究线段AD与OB的数量关系，并说明理由；
（3）结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关系为AD=2sin$\frac{α}{2}$OB（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）如图1，连接AC，根据已知条件得到△ABC与△COD是等边三角形，求得∠ACD=∠BCO，推出△ACD≌△BCO，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）如图2，连接AC，过B作BF⊥AC于F，根据已知条件得到∠ACB=∠DCO=30°，推出△ACD∽△BCO，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{OB}=\frac{AC}{BC}$，由三角函数的定义得到$\frac{2CF}{BC}$=2sin60°=$\sqrt{3}$，于是得到结论；
（3）如图3，连接AC，过B作BF⊥AC于F，根据已知条件得到∠ACB=∠DCO，推出△ACD∽△BCO，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{OB}=\frac{AC}{BC}$，由三角函数的定义得到结论．

解答 解：（1）AD=OB，
如图1，连接AC，
∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=60°，
∴△ABC与△COD是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCO=60°，
∴∠ACD=∠BCO，
在△ACD与△BCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCO}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCO，
∴AD=OB；

（2）AD=$\sqrt{3}$OB；
如图2，连接AC，过B作BF⊥AC于F，
∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=120°，
∴∠ACB=∠DCO=30°，
∴∠ACD=∠BCO，
∴△ACD∽△BCO，
∴$\frac{AD}{OB}=\frac{AC}{BC}$，
∵∠CFB=90°，
∴$\frac{2CF}{BC}$=2sin60°=$\sqrt{3}$，
∴AD=$\sqrt{3}$OB；

（3）如图3，连接AC，过B作BF⊥AC于F，
∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=α，
∴∠ACB=∠DCO=$\frac{180°-α}{2}$，
∴∠ACD=∠BCO，
∴△ACD∽△BCO，
∴$\frac{AD}{OB}=\frac{AC}{BC}$，
∵∠CFB=90°，
∴$\frac{2CF}{BC}$=2sin$\frac{α}{2}$，
∴AD=2sin$\frac{α}{2}$OB．
故答案为：AD=2sin$\frac{α}{2}$OB．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及等腰三角形的性质，灵活运用相似三角形的判定与性质是解本题的关键．