Question

两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”（见图）现在平面上有若干条直线，它们两两相交并且“夹角”只能是30°或者是60°或者是90°时，问：平面上最多有多少条直线？当直线条数最多时，所有的“夹角”的和是多少？

Answer 1

考点：对顶角、邻补角

专题：

分析：根据题意，“夹角”只能是30°，60°或90°，都是30°的倍数，根据这个倍数，通过旋转的方法，进一步解答即可．

解答：解：因为夹角只能是30°、60°或者90°，其均为30°的倍数，所以每画一条直线后，逆时针旋转30°画下一条直线，这样就能够保证两两直线夹角为30°的倍数，即为30°、60°或者90°（因为如果每次旋转度数其他角度，例如15°，则必然会出现两条直线的夹角为15°或15°的其它倍数，如45°这与题目不符）；
因为该平面上的直线两两相交，也就是说不会出现平行的情况，在画出6条直线时，直线旋转过5次，5×30°=150°，如果再画出第7条直线，则旋转6次，6×30°=180°，这样第七条直线就与第一条直线平行了．
如图：

所以最多能画出六条．
（1）第2条至第6条直线与第1条直线 的“夹角”和是：30°+60°+90°+60°+30°=270°，
（2）第3条至第6条直线与第2条直线相交的“夹角”和是：270°-30°=240°，
（3）第4条至第6条直线与第3条直线相交的“夹角”和是：270°-30°-60°=180°，
（4）第5和第6条直线与第4条直线相交的“夹角”和是60°+30°=90°，
（5）第6条直线与第5条直线相交的“夹角”和是：30°
则270°+240°+180°+90°+60°=840°．
答：平面上最多有6条直线．当直线条数最多时，所有的“夹角”的和是840°．

点评：本题考查了对顶角、邻补角．根据题意，由题目给出的条件，通过旋转的方法进一步解答即可．