Question

4．如图，在锐角△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，以AD为直径的⊙O分别交AB，AC于E，F，连结DE，DF．
（1）求∠EDF的度数；
（2）已知P是射线DC上一个动点，当点P运动到PD=BD时，连结AP，交⊙O于G，连结DG．若∠BAC=70°，∠APB=50°，⊙O 的半径长为1，
①求证：∠EDG+∠BAG=180°； 
②求劣弧DF的长．

Answer 1

分析 （1）如图，直接运用圆内接四边形的性质，求出∠EDF，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；要求劣弧DF的长，需求出圆心角∠DOF的度数；因此，只要求出∠DAC；首先证明AB=AP，得到∠B=∠APD=50°；根据直角三角形的两锐角互余求出∠BAD，进而求出∠DAC；运用弧长公式即可解决问题．

解答 解：（1）如图，设∠BAC=α；
∵四边形AEDF为⊙O的内接四边形，
∴∠EDF+∠EAF=180°，
∴∠EDF=180°-α．
（2）①如图，∵四边形AEDG是⊙O的内接四边形，
∴∠EDG+∠BAG=180°．
②如图，连接OF；
∵AD⊥BP，BD=PD，
∴AD为线段BP的垂直平分线，
∴AB=AP，∠B=∠APB=50°，
∴∠BAD=90°-50°=40°，而∠BAC=70°，
∴∠DAC=30°，∠DOF=60°，
∴$\widehat{DF}$的长=$\frac{60π•1}{180}$=$\frac{π}{3}$．

点评 该题以圆为载体，以考查圆内接四边形的性质、线段垂直平分线的性质、圆周角定理、弧长公式及其应用等几何知识点为核心构造而成；牢固掌握圆内接四边形的性质、线段垂直平分线的性质、圆周角定理等是基础，灵活运用是关键．