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【题目】已知矩形OABC的边长OA=4AB=3EOA的中点,分别以OAOC所在的直线为x轴、y轴,建立如图1所示的平面直角坐标系,直线l经过CE两点.

1)求直线l的函数表达式;

2)如图2,在长方形OABC中,过点EEG⊥ECAB于点G,连接CG,将△COE沿直线l折叠后得到△CEF,点F恰好落在CG上.证明:GF=GA

3)在(2)的条件下求四边形AGFE的面积.

【答案】1y=x+3;(2)见解析,(3AGFE的面积是.

【解析】

1)根据矩形的性质及中点的定义得出OC=AB=3OE=2,进而得出EC两点的坐标,再用待定系数法即可求得直线l的函数表达式;
2)根据矩形的四个角都是直角得∠COA=∠OAB=90°;根据折叠的性质得到∠COE=∠CFE=90°OE=EF,进而得到∠EFG=∠EAG=90°;根据中点的定义得OE=AE,根据等量代换得出EF=EA,然后利用HL判断出Rt△EFG≌Rt△EAG,根据全等三角形对应边相等得出GF=GA
3)根据折叠的性质知OC=CF=3.根据线段的和差得出BG=AB-AG=3-AGCG=CF+GF=3+GAAE=2,在Rt△CBG中,由勾股定理得出关于AG的方程,求解得出AG的长,根据全等三角形的面积相等得出SRt△EFG=SRt△EAG,然后根据S四边形AGFE=2SRt△EAG即可得出答案.

解:(1矩形OABC的边长OA=4AB=3EOA的中点,

∴OC=AB=3OE=2

∴E20),C03).

设直线l的解析式y=kx+bk≠0).

E20),C03),分别代入y=kx+b

,解得

直线l的解析式y=x+3

2四边形OABC是矩形,

∴∠COA=∠OAB=90°

又根据折叠是性质得到∠COE=∠CFE=90°OE=EF

∴∠EFG=∠EAG=90°

∵EOA的中点,

∴OE=AE

∴EF=EA

Rt△EFGRt△EAG中,

∴Rt△EFG≌Rt△EAGHL),

∴GF=GA

3)由(2)知,GF=GA,根据折叠的性质知OC=CF=3

∵BG=AB–AG=3–AGCG=CF+GF=3+GAAE=2

Rt△CBG中,由勾股定理得:

CG2=BC2+BG2,即(3+AG2=3–AG2+42,解得AG=

由(2)知,Rt△EFG≌Rt△EAG

∴SRt△EFG=SRt△EAG

∴S四边形AGFE=2SRt△EAG=2×AE·AG=2××2×=,即四边形AGFE的面积是

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