Question

如图，AD是△ABC的外角平分线，CD⊥AD于D，E是BC的中点．求证：
（1）DE∥AB；     
（2）DE=

1

2

（AB+AC）．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）延长CD交BA的延长线于F，利用“角边角”证明△ACD和△AFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DF，然后判断出DE是△BCF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明即可；
（2）求出AC=AF，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明即可．

解答：证明：（1）如图，延长CD交BA的延长线于F，
∵AD是△ABC的外角平分线，CD⊥AD，
∴∠CAD=∠FAD，∠ADC=∠ADF=90°，
在△ACD和△AFD中，

∠CAD=∠FAD AD=AD ∠ADC=∠ADF=90°

，
∴△ACD≌△AFD（ASA），
∴CD=DF，
∵E是BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE∥AB；

（2）∵△ACD≌△AFD，
∴AC=AF，
∴AB+AC=BF，
∵DE是△BCF的中位线，
∴DE=

1

2

BF=

1

2

（AB+AC）．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出以DE为中位线的三角形是解题的关键．