Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．

（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=2x2﹣8x+6；（2）点E(2，2)或(3，4)；（3）存在，当点P坐标为(5，16)或(﹣1，16)或(3，0)时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形

【解析】

（1）设抛物线解析式为：y＝a(x﹣1)(x﹣3)，把点C坐标代入解析式，可求解；

（2）先求出点M，点N坐标，利用待定系数法可求AD解析式，联立方程组可求点D坐标，可求S△ABD＝×2×6＝6，设点E(m，2m﹣2)，分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解；

（3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A(1，0)，B(3，0)，

∴设抛物线解析式为：y＝a(x﹣1)(x﹣3)，

∵抛物线y＝a(x﹣1)(x﹣3)(a≠0)的图象经过点C(0，6)，

∴6＝a(0﹣1)(0﹣3)，

∴a＝2，

∴抛物线解析式为：y＝2(x﹣1)(x﹣3)＝2x2﹣8x+6；

（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2(x﹣2)2﹣2，

∴顶点M的坐标为(2，﹣2)，

∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，

∴点N(2，2)，

设直线AN解析式为：y＝kx+b，

由题意可得：，

解得：，

∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，

联立方程组得：，

解得：，，

∴点D（4，6），

∴S△ABD＝×2×6＝6，

设点E(m，2m﹣2)，

∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，

∴S△ABE＝S△ABD＝2或S△ABE＝S△ABD＝4，

∴×2×(2m﹣2)＝2或×2×(2m﹣2)＝4，

∴m＝2或3，

∴点E(2，2)或(3，4)；

（3）若AD为平行四边形的边，

∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，

∴AD＝PQ，

∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，

∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，

∴点P坐标为(5，16)或(﹣1，16)；

若AD为平行四边形的对角线，

∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，

∴AD与PQ互相平分，

∴，

∴xP＝3，

∴点P坐标为(3，0)，

综上所述：当点P坐标为(5，16)或(﹣1，16)或(3，0)时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．