Question

【题目】在平形行四边形ABCD中，连接对角线BD，AB＝BD，E为线段AD上一点，AE＝BE

（1）如图1，若∠ABE＝30，CD＝，求DE的长；

（2）如图2，F为线段BE上一点，DE＝BF，连接AF、DF，DF的延长线交AB于点G，若AF＝2DE，求证：DF＝2GF．

Answer 1

【答案】（1）DE＝4；（2）详见解析.

【解析】

（1）想办法证明△BDE是直角三角形，解直角三角形求出BE，DE即可解决问题；

（2）作FH∥AB交AE于H．设DE=BF=a，则AF=2a．想办法证明AH=EH=DE=a，根据FH∥AB，EF=FB，推出即可.

（1）∵AE＝BE，∠ABE＝30°

∴∠A＝∠ABE＝30°

∴∠DEB＝60°

∵AB＝BD

∴∠ADB＝∠A＝30°

∴∠EBD=90°

∵ABCD是平行四边形，且CD＝

∴AB＝CD＝

∴BD＝

∴BE＝2

∴DE＝4

（2）证明：作FH∥AB交AE于H．设DE=BF=a，则AF=2a．

∵EA=EB，BA=BD，

∴∠EAB=∠EBA=∠ADB，

∵BF=DE，

∴△ABF≌△BDE（SAS），

∴BE=AF=2a，

∴EF=a，EA=EB=2a，

∵FH∥AB，EF=FB，

∴AH=EH=a，

∴，

∴DF=2FG．