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    19．【归纳猜想】
    在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，BD2=AB2+AD2，因为DC=AB，AD=BC，所以AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2=2（AB2+BC2）．
    小亮对菱形进行了探究，也得到了同样的结论，于是小亮猜想：任意平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
    【探究发现】
    求证：平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和，请结合图2，写出已知、求证、并写出证明过程．
    【解决问题】
    根据上面探究的结论，回答下面的问题．
    如图3，在△ABC中，BC、AC、AB的长分别为a、b、c，AD是BC边上的中线．则AD的长为$\frac{\sqrt{{2b}^{2}+{2c}^{2}{-a}^{2}}}{2}$．（结果用a，b，c表示）

    分析 （1）首先作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据全等三角形判定的方法，判断出△ABE≌△DCF，即可判断出AE=DF，BE=CF；然后根据勾股定理，可得AC2=AE2+（BC-BE）2，BD2=DF2+（BC+BE）2，AB2=AE2+BE2，再根据AB=DC，AD=BC，即可推得AC2+BD2=AB2+BC2+DC2+AD2．
    （2）首先延长AD至点E，使AD=DE，根据平行四边形判定的方法，判断出四边形ABEC是平行四边形；然后根据平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和，求出AD的长为多少即可．

    解答 （1）证明：如图2，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，，
    ∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴AB∥DC，且AB=DC，
    ∴∠ABE=∠DCF，
    在△ABE和△DCF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠DCF}\\{∠AEB=∠DFC=90°}\\{AB=DC}\end{array}\right.$（AAS）
    ∴△ABE≌△DCF，
    ∴AE=DF，BE=CF，
    在Rt△ACE中，由勾股定理，可得
    AC2=AE2+CE2=AE2+（BC-BE）2…①，
    在Rt△BDF中，由勾股定理，可得
    BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=DF2+（BC+BE）2…②，
    由①②，可得
    AC2+BD2=AE2+DF2+2BC2+2BE2=2AE2+2BC2+2BE2，
    在Rt△ABE中，由勾股定理，可得
    AB2=AE2+BE2，
    ∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2+BE2）+2BC2=2AB2+2BC2，
    ∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴AB=DC，AD=BC，
    ∴AC2+BD2=AB2+BC2+DC2+AD2，
    即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和．

    （2）解：如图3，延长AD至点E，使AD=DE，，
    ∵AD是BC边上的中线，
    ∴BD=CD，
    又∵AD=DE，
    ∴四边形ABEC是平行四边形，
    由（1），可得
    AE2+BC2=2AB2+2AC2，
    ∵AE=2AD，
    ∴AE2=4AD2，
    ∴4AD2=2b2+2c2-a2，
    ∴AD=$\frac{\sqrt{{2b}^{2}+{2c}^{2}{-a}^{2}}}{2}$．
    故答案为：$\frac{\sqrt{{2b}^{2}+{2c}^{2}{-a}^{2}}}{2}$．

    点评 （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考查了空间想象能力的应用，要熟练掌握．
    （2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
    （3）此题还考查了平行四边形判定和性质的应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．

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    （4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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